Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

106 6. ZAHLENMENGEN
Man definiert alsoÉals die Äquivalenzklassen von Brüchen der Form m ganzer Zahlen
n
mit n ≠ 0. Man findet, dass es in jeder Äquivalenzklasse einen Bruch gibt, sodass m und n
teilerfremd sind und weiters n > 0 gilt.
Zusammen mit der Addition + und · bildetÉeinen Körper. Außerdem ist aufÉeine
Ordnungsrelation ≤ definiert, für dieÉein geordneter Körper ist, genau bedeutet dies.
Definition 6.3.1 (Geordneter Körper). Ein Körper (K, +, ·), der auch eine totalgeordnete
Menge (K, ≤) ist, heißt geordneter Körper, falls die beiden Ordnungsaxiome gelten,
d.h. für q, r, s ∈ K gilt
(O1) q ≤ r ⇒ q + s ≤ r + s,
(O2) q > 0 ∧ r > 0 ⇒ qr > 0.
Wir schreiben dann (K, +, ·, ≤).
Die Ordnungsrelation muss also mit den Rechenoperationen verträglich sein. Aus den
Ordnungsaxiomen können wir auch bereits die bekannten Rechengesetze für Ungleichungen
herleiten, wie das Ungleichheitszeichen dreht sich um, wenn man mit einer negativen Zahl
”
multipliziert“.
Proposition 6.3.2 (Rechenregeln in geordneten Körpern). In einem geordneten Körper
(K, +, ·, ≤) gelten folgende Aussagen (x, y, z ∈ K)
(1) x ≤ y ⇔ y − x ≥ 0.
(2) x ≤ 0 ⇔ −x ≥ 0.
(3) Ist x ≥ 0 und y ≤ z, dann folgt xy ≤ xz.
(4) Ist x < 0 und y ≤ z, dann folgt xy ≥ xz.
(5) Für x ≠ 0 ist x 2 > 0 und daher 1 > 0.
(6) Ist 0 < x < y, dann folgt 0 < y −1 < x −1 .
Beweis.
(1) Aus x ≤ y folgt mit (O1) 0 = x+(−x) ≤ y +(−x) und somit 0 ≤ y −x. Umgekehrt
ergibt sich aus y − x ≥ 0 mit (O1) y = y − x + x ≥ 0 + x = x.
(2) Folgt aus (1) für y=0.
(3) Für y = z wissen wir xy = xz. Für x = 0 gilt 0 = xy = xz = 0. Ist y < z, so ist
wegen (1) 0 < z −y. Ist schließlich x > 0, dann folgt aus (O2) 0 < x(z −y) = xz −xy
und somit ist xy < xz.
(4) Dies folgt aus (2) und (3).
(5) Ist x > 0, so gilt x 2 = x · x > 0 wegen (O2). Für x < 0 ist −x > 0 und x 2 =
(−x)(−x) > 0. Es ist 1 ≠ 0 und daher 1 = 1 2 > 0.
(6) Ist x > 0, so ist x −1 > 0. Wäre das nicht so, hätten wir 1 = xx −1 < 0 im Widerspruch
zu (5). Gilt 0 < x < y, so wissen wir x −1 y −1 > 0, und daher folgt
x < y
x(x −1 y −1 ) < y(x −1 y −1 )
y −1 < x −1 .
Proposition 6.3.3. Die MengeÆist inÉnach oben unbeschränkt.
Beweis. Angenommen,Æsei inÉbeschränkt. Dann existieren positive natürliche Zahlen
k und m mit der Eigenschaft, dass ∀n ∈Æ:n≤ m . Das ist gleichbedeutend mit der Aussage,
k
dass ∀n ∈Æ:nk ≤ m wegen Proposition 6.3.2(3). Nachdem k positiv ist, muss nk ≥ n sein,
weil k ≥ 1 gilt (k = k ′ +1, daher nk = nk ′ +n mit n ≥ 0 und k ′ ≥ 0, also nk ′ ≥ 0, was nk ≥ n
impliziert) und daher existiert eine positive natürliche Zahl m so, dass ∀n ∈Æ:n≤m. Es
ist aber m + 1 > m, ein Widerspruch. Daher istÆinÉunbeschränkt.
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