Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.5. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 125
Das Multiplizieren komplexer Zahlen ist in der Polardarstellung besonders einfach. Es
gilt nämlich
z 1 z 2 = r 1 r 2
(
ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) ) ,
wobei r i bzw. ϕ i der zu z i (i = 1, 2) gehörige Radius bzw. Winkel ist. Es werden also die
Radien multipliziert und die Winkel addiert. Das Inverse von z ≠ 0 ist ebenfalls sehr einfach
zu bestimmen; es gilt z −1 = 1 (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)).
r
In der cartesischen Darstellung ist die Division ein wenig mühsamer:
a 1 + ib 2
= (a 1 + ib 1 )(a 2 − ib 2 )
a 2 + ib 2 (a 2 + ib 2 )(a 2 − ib 2 ) = a 1a 2 + b 1 b 2 + i(a 2 b 1 − a 1 b 2 )
= a 1a 2 + b 1 b 2
a 2 2 + b 2 2
a 2 2 + b 2 2
+ i a 2b 1 − a 1 b 2
.
a 2 2 + b 2 2
In diesem Fall haben wir den Bruch oben und unten mit derselben komplexen Zahl multipliziert,
nämlich a 2 − ib 2 . Diese verdient eine besondere Hervorhebung.
Definition 6.5.6 (Konjugiert komplexe Zahl). Sei z = x + iy ∈Wir definieren die zu
z konjugiert komplexen Zahl als
z := x − iy.
Wie wir im Nenner obiger Rechnung sehen können, in dem das Quadrat des Betrags von
a 2 + ib 2 auftaucht, gilt für jede komplexe Zahl z
und außerdem
zz = |z| 2 ,
z = z,
z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ,
z 1 z 2 = z 1 z 2 .
Wir wollen nun untersuchen, ob es uns gelingt, die Ordnungsrelation vonÊaufauszudehnen,
sodass wieder O1 und O2 gelten. Folgendes (zunächst) erstaunliche Resultat kommt
dabei zu Tage.
Theorem 6.5.7. Es gibt keine Ordnungsrelation auf, mit der (, +, ·) ein geordneter
Körper wird.
Beweis. Angenommen, es gäbe eine Ordnungsrelation ≤, die alle notwendigen Eigenschaften
aufweist. Dann gilt jedenfalls −1 < 0 < 1 wegen Proposition 6.3.2.(2) und (5).
Wegen i ≠ 0 folgt aber wieder wegen Proposition 6.3.2.(5), dass −1 = i 2 > 0, ein
Widerspruch. Daher existiert keine solche Ordnungsrelation.
□
Nun aber zurück zu den Polynomen. Für ein beliebiges quadratisches Polynom mit komplexen
Koeffizienten α i können wir jetzt jedenfalls die Nullstellen ausrechnen. Sei nämlich
p(z) = α 2 z 2 + α 1 z + α 0 ,
dann kann man alle Nullstellen von p mit Hilfe der wohlbekannten Formel
berechnen.
Beispiel 6.5.8. Sei das Polynom
z 1,2 = −α 1 ± √ α 2 1 − 4α 2 α 0
2α 2
z 2 − (3 − 8i)z − 13 − 11i