Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

76 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
(ii) Ist (G, ◦) ein Gruppoid mit Linkseinselement e L und Rechtseinselement e R , so gilt
und e ist Einselement in G
e L = e R =: e
Beweis.
(i) Sei ẽ ein weiteres neutrales Element in (G, ◦), d.h. es existiert ẽ mit
∀g ∈ G : g ◦ ẽ = ẽ ◦ g = g.
Wir zeigen, dass dann e = ẽ gilt. Zunächst gilt (setze g = e in obiger Formel)
ẽ ◦ e = e.
Analog folgt (setze g = ẽ in der Formel in der Proposition)
Insgesamt folgt also ẽ = e.
ẽ ◦ e = ẽ.
(ii) Es gilt e L = e L e R , da e R ein Rechtseinselement ist, und weil e L linksneutral ist,
haben wir e L e R = e R . Aus diesen Gleichungen sieht man aber sofort e L = e R .
Setzen wir e = e L = e R , so erhalten wir das gewünschte Einselement.
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Ein Element g in einem Gruppoid (G, ◦) heißt idempotent, falls
g ◦ g = g
gilt. Damit haben wir.
Proposition 5.2.8. Ein (Links-, Rechts-) Einselement e eines Gruppoids (G, ◦) ist immer
idempotent.
Beweis. Es gilt e ◦ e = e, weil e (Links-, Rechts-) Einselement ist.
Nachdem Einselemente häufig anzutreffen sind, hat man Halbgruppen, die ein solches
enthalten, einen eigenen Namen gegeben.
Definition 5.2.9 (Monoid). Ist (G, ◦) eine Halbgruppe und existiert ein Einselement
e ∈ G, so nennt man G auch Monoid und schreibt oft (G, ◦, e).
Beispiel 5.2.10 (Monoide).
(i) Sowohl (Æ, +) als auch (Æ, ·) sind Monoide. Auch (, +), (, ·), (Ê, +), (Ê, ·) sind
Monoide, so wie (Abb(M), ◦) und (T, ◦) bzw. (D, ◦).
(ii) Die Menge (FP 2 , ⊕) ist kein Monoid. Sie besitzt zwar ein neutrales Element aber
die Verknüpfung ist nicht assoziativ (FP 2 ist ja nicht einmal eine Halbgruppe!).
(iii) (W, ◦) und (S, ◦) sind ebenfalls keine Monoide, weil sie kein neutrales Element besitzen.
Wir könnten aber durch Hinzufügen des leeren Hauptwortes bzw. des leeren
Strichblockes Einselemente in W und S definieren.
Auf diese Weise kann man übrigens aus jeder Halbgruppe durch Hinzufügen (Adjungieren)
eines neutralen Elements ein Monoid machen.
Fahren wir fort, die verschiedenen Beispiele miteinander zu vergleichen. Vielleicht können
wir noch weitere Eigenschaften der Verknüpfungen isolieren.
Da stoßen wir übrigens auf ein wichtiges mathematisches Prinzip. Wir spüren eine Eigenschaft
auf, geben ihr einen Namen und machen sie so reif für eine Untersuchung. Kreative
Namensgebung ist bereits der erste Schritt zur erfolgreichen Behandlung einer Theorie. Die
Kreativität liegt dabei natürlich mehr darauf, was und nicht darauf wie etwas benannt wird
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