Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.1. DIE NATÜRLICHEN ZAHLENÆ 99
+ S(j) (n) = S(+ j (n)) = S(k) erfüllt. Somit ist auch S(m) ∈ M, da für j ∈Æmit j ≤ S(m)
entweder j = 0 ist oder ein j ′ ∈Æexistiert mit j = S(j ′ ) und j ′ ≤ m. Somit impliziert
Korollar 6.1.3 aber M =Æ. Daher ist für jedes m ∈Ædie Relation + m tatsächlich eine
Abbildung, und + :Æ×Æ→Æist dann als Abbildung definiert durch n + m = + m (n) für
alle m, n ∈Æ.
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Mit ähnlichen Induktionsbeweisen zeigt man noch, dass die arithmetische Operation · :
Æ×Æ→Ærekursiv definiert werden kann durch
n · 0 = 0
n · S(m) = (n · m) + n
Theorem 6.1.7. Die natürlichen Zahlen (Æ, +, ·) bilden einen kommutativen Halbring
mit 0 und 1.
Beweis. Zeigen wir zunächst, dass (Æ, +) eine kommutative Halbgruppe ist.
BH1: ∀n ∈Æ:S(m) + n = m + S(n).
Sei M := {n ∈Æ|∀m ∈Æ:S(m) + n = m + S(n)}. Es gilt S(0) + 0 = S(0) und
0+S(0) = S(0+0) = S(0) und daher 0 ∈ M. Sei nun n ∈ M. Wir betrachten S(n)
und erhalten für m ∈Ædie Beziehung S(m)+S(n) = S(S(m)+n) = S(m+S(n)) =
m + S(S(n)) nach Definition von + und weil n ∈ M. Daher ist auch S(n) ∈ M und
Korollar 6.1.3 liefert uns M =Æ.
BH2: ∀n ∈Æ:0 + n = n.
Sei M := {n ∈Æ|0+n = n}. Dann ist 0 ∈ M wegen 0+0 = 0. Sei nun n ∈ M und
betrachten wir S(n). Wir erhalten 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n) aus der Definition
von + und weil n ∈ M. Daraus und aus der Definition folgt, dass 0 ein Nullelement
ist.
KG(+): ∀n, m ∈Æ:n + m = m + n.
Diese Beziehung zeigen wir ebenfalls mit Induktion. Sei M := {n ∈Æ|∀m ∈Æ:
m + n = n + m}. Wegen BH2 und der Definition von + gilt für alle n ∈Ædie
Gleichung 0 + n = n + 0 und daher 0 ∈ M. Sei nun n ∈ M. Dann rechnen wir für
beliebiges m ∈Æwie folgt: S(n)+m = n+S(n) = S(n+m) = S(m+n) = m+S(n).
Zweimal haben wir die Definition von + verwendet und je einmal die Tatsache
n ∈ M und BH1. Daher ist S(n) ∈ M, und wegen Korollar 6.1.3 gilt M =Æ. Daher
ist + kommutativ.
AG(+): ∀k, m, n ∈Æ:(k + n) + m = k + (n + m).
Ein weiterer Induktionsbeweis wird uns das Assoziativgesetz zeigen. Wir definieren
M := {m ∈Æ:∀k, n ∈Æ:(k + n) + m = k + (n + m)}, und wieder gilt 0 ∈ M,
diesmal wegen (k + n) + 0 = k + n = k + (n + 0). Ist m ∈ M, dann rechnen wir für
beliebige k, n ∈Æ
(k + n) + S(m) = S((k + n) + m) = S(k + (n + m)) =
= k + S(n + m) = k + (n + S(m)).
Das beweist S(m) ∈ M und damit M =Æwegen Korollar 6.1.3. Also ist + assoziativ
und (Æ, +) ein kommutatives Monoid.
BH3: ∀n ∈Æ:0 · n = 0.
Induktion mit M = {n ∈Æ|0 · n = 0}. 0 ∈ M wegen der Definition 0 · 0 = 0. Ist
n ∈ M, so ist auch S(n) ∈ M wegen 0 ·S(n) = (0 ·n)+0 = 0+0 = 0. Korollar 6.1.3
impliziert wieder M =Æ.
BH4: ∀n ∈Æ:S(0) · n = n · S(0) = n, also S(0) ist Einselement.
Die erste Gleichung n ·S(0) = n ·0+n = 0+n = n folgt direkt aus den Definitionen