Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

92 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
(1) Für je zwei Elemente a, b ∈ Q ist sowohl a−b ∈ Q als auch, sofern b ≠ 0, ab −1 ∈ Q.
(2) Für je drei Elemente a, b, c ∈ Q mit c ≠ 0 ist auch (a − b)c −1 ∈ Q.
⊂Ê
Beweis. Dies folgt aus Proposition 5.2.28 für (K, +) und (K, ·). Ferner beachte man,
dass (a − 0)c −1 = ac −1 und (a − b)1 −1 = a − b gelten.
□
Beispiel 5.4.11 (É[ √ 2]). Seien auf
K = {a + b √ 2 | a, b ∈É} die folgenden Operationen definiert:
(a 1 + b 1
√
2) ⊕ (a2 + b 2
√
2) = (a1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) √ 2
(a 1 + b 1
√
2) ⊗ (a2 + b 2
√
2) = (a1 a 2 + 2b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 + a 1 b 2 ) √ 2.
Bei genauerer Betrachtung sehen wir, dass ⊕ und ⊗ genau die vonÊererbten Operationen
+ und · sind. Wir untersuchen also:
und für (a 2 , b 2 ) ≠ (0, 0)
(a 1 + b 1
√
2) − (a2 + b 2
√
2) = (a1 − a 2 ) + (b 1 − b 2 ) √ 2 ∈ K,
√ √
(a 1 + b 1 2)(a2 + b 2 2) −1 = a √
1 + b 1 2
√ = (a √ √
1 + b 1 2)(a2 − b 2 2)
=
a 2 + b 2 2 a 2 2 − 2b 2 2
= a 1a 2 − 2b 1 b 2
a 2 2 − 2b2 2
+ a 2b 1 − a 1 b 2
√
2.
a 2 2 − 2b2 2
Dieses Ergebnis liegt in K, sofern a 2 2 −2b2 2 ≠ 0 gilt. Dies ist aber wahr, da nicht beide a 2 und
b 2 gleich Null sein dürfen. Darüber hinaus gilt noch, dass a 2 2 ≠ 2b2 2 sein muss, weil a 2 und b 2
rational sind, √ 2 aber irrational ist. Daher sind die Voraussetzungen von Proposition 5.4.10
erfüllt, und K ist in der Tat ein Unterkörper vonÊ. Wir schreiben auch K =É[ √ 2].
Nach den Definitionen der Struktur und den Beispielen müssen wir uns ein weiteres
Mal um die Abbildungen kümmern. Das Prinzip ist wieder dasselbe wie schon zuvor. Jeder
Körper ist ein Ring mit zusätzlichen Eigenschaften, also ist ein Körperhomomorphismus —
bitte raten! — genau, ein Ringhomomorphismus, der auch diese zusätzlichen Eigenschaften
respektiert.
Definition 5.4.12 (Körperhomomorphismus). Es seien (K, +, ·) und (K ′ , ⊕, ⊗) zwei
Körper.
(i) Ein Körperhomomorphismus ist ein Gruppenhomomorphismus f : (K, +) → (K ′ , ⊕),
der auch noch ein Gruppenhomomorphismus f : (K \ {0}, ·) → (K ′ \ {0}, ⊗) ist.
(ii) Ist f bijektiv, so nennt man die Abbildung Körperisomorphismus und sagt, die beiden
Körper K und K ′ sind isomorph.
Beispiel 5.4.13. Definieren wir aufÉ×Édie Verknüpfungen
(a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) := (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 )
(a 1 , a 2 ) · (b 1 , b 2 ) := (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 )
dann ist (É×É, +, ·) ein Körper.
Wir überprüfen das, indem wir die Körperaxiome nachrechnen: