Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.6. DIE QUATERNIONENÀ 127
Beweis. Der Beweis dieses Satzes würde das Lehrziel dieses Skriptums sprengen, und
daher lassen wir ihn aus. Übrigens gibt es viele — über 100 — verschiedenen Beweise für
diesen Satz. In jedem guten Buch über Funktionentheorie (komplexe Analysis) ist einer zu
finden; siehe etwa [Remmert, Schumacher 2001].
□
Es lässt sich sogar noch ein klein wenig mehr sagen, denn wenn man eine Nullstelle
eines Polynoms gefunden hat, dann kann man mit Hilfe der Polynomdivision folgenden Satz
beweisen:
Theorem 6.5.10. Sei p ein komplexes Polynom n–ten Grades und α eine Nullstelle von
p. Dann gibt es ein Polynom q vom Grad n − 1, und es gilt
p(z) = q(z)(z − α).
Man kann also den Linearfaktor z − α abspalten.
Beweis. Ebenfalls in guten Funktionentheorie-Büchern nachzulesen.
Fasst man die beiden Theoreme 6.5.9 und 6.5.10 zusammen, dann kann man die wichtige
Folgerung über Polynome und ihre Nullstellen beweisen:
Korollar 6.5.11. Sei p ein komplexes Polynom vom Grad n. Dann existieren genau n
Linearfaktoren z − α i mit i = 1, . . .,n, sodass
n∏
p(z) = (z − α i ).
Das Polynom zerfällt also überin genau n Linearfaktoren.
i=1
Beweis. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat p eine Nullstelle, die man nach
Theorem 6.5.10 abspalten kann. übrig bleibt ein Polynom q, dessen Grad um 1 kleiner ist
als der von p. Auf q kann man wieder den Fundamentalsatz anwenden, usw. Das Korollar
folgt mittels vollständiger Induktion.
□
Das ist sehr praktisch, doch leider gibt es keine Möglichkeit, für allgemeine Polynome
hohen Grades diese Linearfaktoren (d.h. die Nullstellen) zu bestimmen. Nils Henrik Abel
(1802–1829) hat nämlich im Jahr 1824 den folgenden Satz bewiesen:
Theorem 6.5.12 (Abel). Für jedes n ≥ 5 existiert ein Polynom p mit rationalen Koeffizienten
vom Grad n, das eine reelle Nullstelle r besitzt mit der Eigenschaft, dass r nicht geschrieben
werden kann als algebraischer Ausdruck, der rationale Zahlen, Additionen, Subtraktionen,
Multiplikationen, Divisionen und k–te Wurzeln enthält. Anders ausgedrückt existiert
keine Formel und damit kein endlicher algebraischer Algorithmus, der aus den Koeffizienten
eines Polynoms vom Grad n ≥ 5 die Nullstellen berechnet.
Beweis. Der Beweis dieses Satzes gehört in die höhere Algebra und kann unter dem
Kapitel Galoistheorie z.B. in [Scheja, Storch 1988] nachgelesen werden.
□
6.6. Die QuaternionenÀ
Eine letzte interessante Frage kann man noch über Zahlenmengen stellen, die sich direkt
aus der Definition vonals Körperstruktur aufÊ×Êergibt. Kann man z.B. aufÊ×Ê×Ê=Ê3
auch eine Körperstruktur einführen?
Die Suche nach der Antwort auf diese Frage hat auch den Mathematiker Sir William
Rowan Hamilton (1805–1865), einen der bedeutendsten Wissenschafter seiner Epoche beschäftigt,
und im Jahr 1843 präsentierte er schließlich die Arbeit ”
On a new Species of
Imaginary Quantities connected with a theory of Quaternions“ bei einem Treffen der Royal
Irish Academy.
□