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82 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA (5) Spiegelung S b an der Höhe auf b, (6) Spiegelung S c an der Höhe auf c. Die Menge dieser Abbildungen bildet eine Gruppe bezüglich Verknüpfung von Abbildungen. Man kann die Wirkung der Abbildung am einfachsten veranschaulichen, indem man beobachtet, wohin die Eckpunkte abgebildet werden. Die Abbildung D 1 etwa bildet die Ecken ABC auf die Ecken BCA (in der Reihenfolge) ab. Die Spiegelung S a bildet ABC auf ACB ab. Man sieht also, dass die Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks genau die Permutationen (siehe die grauen Box auf Seite 59) der Eckpunkte sind. Die dabei entstehende Gruppe heißt S 3 , und ihre Verknüpfungstabelle ist ◦ I S a S b S c D 1 D 2 I I S a S b S c D 1 D 2 S a S a I D 2 D 1 S c S b S b S b D 1 I D 2 S a S c S c S c D 2 D 1 I S b S a D 1 D 1 S b S c S a D 2 I D 2 D 2 S c S a S b I D 1 Diese Gruppe ist die Permutationsgruppe von drei Elementen oder auch Diedergruppe D 3 der Ordnung 3, eine nicht abelsche Gruppe. Sie ist sogar die kleinste nicht abelsche Gruppe. Beispiel 5.2.23. Die Kleinsche Vierergruppe (V 4 ), auch Diedergruppe D 2 der Ordnung 2 genannt ist definiert durch die Verknüpfungstabelle ◦ e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Sie ist übrigens die kleinste nicht-zyklische Gruppe (wobei eine Gruppe zyklisch heißt, wenn sich alle Elemente als Potenzen eines einzigen Elements schreiben lassen). Nun wenden wir uns wieder dem Studium der abstrakten Struktur einer Gruppe zu. Zunächst zeigen wir, dass das Gesetz der doppelten Inversion auch in Gruppen gilt. Proposition 5.2.24 (Doppelte Inversion). Ist (G, ◦) eine Gruppe, so haben wir für jedes g ∈ G (g −1 ) −1 = g. Beweis. Das Element (g −1 ) −1 ist das Inverse von g −1 . Wir wissen aber, dass gg −1 = e gilt. Daher ist auch g das Inverse von g −1 . Wegen der Eindeutigkeit der Inversen (Proposition 5.2.17) folgt g = (g −1 ) −1 . □ Achtgeben muss man, wenn man das Verhältnis von Gruppenoperation und Inversion untersucht. Proposition 5.2.25 (Rechenregeln für Gruppen). Ist (G, ◦) eine Gruppe und g, h, k ∈ G. Dann gelten die Rechenregeln (1) (g ◦ h) −1 = h −1 ◦ g −1 (die Verknüpfung dreht sich um!), (2) k ◦ g = k ◦ h ⇒ g = h (es gilt die Kürzungsregel), (3) Die Gleichung g ◦ x = h hat in G die eindeutige Lösung x = g −1 ◦ h. Beweis.
5.2. GRUPPEN 83 (1) Es gilt (g ◦ h) ◦ (h −1 ◦ g −1 ) = g ◦ (h ◦ h −1 ) ◦ g −1 = g ◦ g −1 = e. Die Aussage folgt nun aus der Eindeutigkeit der Inversen. (2) Wir haben k ◦ g = k ◦ h k −1 ◦ (k ◦ g) = k −1 ◦ (k ◦ h) (k −1 ◦ k) ◦ g = (k −1 ◦ k) ◦ h e ◦ g = e ◦ h g = h. (3) Zunächst ist x = g −1 ◦h eine Lösung, da g◦x = g◦(g −1 ◦h) = (g◦g −1 )◦h = e◦h = h. Angenommen x ′ ist eine weitere Lösung so gilt g ◦ x = h = g ◦ x ′ und aus der Kürzungsregel folgt nun x = x ′ . □ Im Folgenden werden wir Teilmengen von Gruppen studieren und dabei unser erstes Beispiel einer Teilstruktur kennen lernen. Wenn H ⊆ G gilt und (G, ◦, e) eine Gruppe ist, dann ist automatisch eine Abbildung ◦ : H × H → G definiert; jedes h ∈ H ist ja auch Element in G und daher ist für jedes Paar (g, h) ∈ H × H die Verknüpfung g ◦ h definiert. Man spricht von der von G ererbten oder auch induzierten Operationen auf H. Besonders interessant sind nun solche Teilmengen von Gruppen, die mit der ererbten Operation dieselbe Struktur aufweisen wie ihre Obermenge, also selbst Gruppen sind. Definition 5.2.26 (Untergruppe). Sei (G, ◦, e) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊆ G heißt Untergruppe, falls (H, ◦, e) eine Gruppe ist. Beispiel 5.2.27. • Jede Gruppe G besitzt die beiden trivialen Untergruppen {e} und G. • Die Gruppe (, +) ist eine Untergruppe von (Ê, +). • Die Gruppe (, +) besitzt etwa die Untergruppeg aller geraden ganzen Zahlen. Man bezeichnet Teilstrukturen (die gleiche Struktur auf einer Teilmenge) meist mit Unter...oder mit Teil... In der Algebra kommen etwa Untergruppen, Unterringe und Unterkörper vor. In der linearen Algebra spricht man von Teilräumen, Teilalgebren,... Sei H ⊆ G Teilmenge der Gruppe (G, ◦, e). Damit (H, ◦, e) eine Gruppe ist, ist es notwendig, dass ∀g, h ∈ H : g ◦ h ∈ H gilt also alle Verknüpfungen von Elementen aus H wiederum in H liegen (und nicht bloß in G). Die Verknüpfung darf demnach nicht aus H herausführen. Diese Eigenschaft nennt man Abgeschlossenheit; genauer sagt man, dass die Verknüpfung ◦ auf der Teilmenge H ⊆ G abgeschlossen ist.
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Einführung in das mathematische Ar
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ii INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 6. Za
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