Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

3.2. AUSSAGEN, LOGIK 39
3.2.3.2. Existenz (∃ und ∃!). Oftmals wird eine mathematische Aussage nicht über
alle Elemente einer Menge getroffen, sondern es wird nur die Existenz eines bestimmten
Objektes behauptet.
Für ein homogenes lineares Gleichungssystem existiert eine Lösung.
Die Formulierung in Zeichen mit Hilfe des Existenzquantors ist ”
∃x ∈ M :“ und in
Worten: ”
Es existiert ein x in M mit...“. Diese Aussage bedeutet, dass es mindestens ein
Element in M gibt mit...
Möchte man in Zeichen ausdrücken dass es genau ein Element in M gibt mit..., so
schreibt man ”
∃!x ∈ M :“.
Auch für die Existenzaussage gibt es viele Formulierungen.
• Es gibt ein x ∈ M mit...
• Jede monotone beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt (d.h. es
existiert ein Häufungspunkt)
• Für ein geeignetes x ist log x ≤ x. Das bedeutet nichts anderes als, dass solch ein x
existiert.
• Im allgemeinen gilt nicht, dass x 2 + x + 41 eine Primzahl ist. (Das wiederum heißt,
dass ein x existiert, sodass x 2 + x + 41 keine Primzahl ist.)
• ∨ x ∈ M :
Merke: Die Verneinung einer Existenzaussage ist eine Allaussage
und umgekehrt.
• Die Verneinung von ”
Alle Kinder hassen die Schule“ ist ”
Es gibt ein
Kind, das die Schule nicht hasst“.
• Die Verneinung von ”
Es gibt einen klugen Assistenten“ ist ”
Alle Assistenten
sind dumm.“
In Zeichen ausgedrückt, gilt für die Verneinungen:
¬(∀x ∈ M : A(x)) entspricht
∃x ∈ M : ¬A(x),
wenn A eine Aussage über Elemente von M ist, etwa A(x) = (x < 7). Für den Existenzquantor
gilt analoges:
¬(∃x ∈ M : A(x)) entspricht
∀x ∈ M : ¬A(x).
ACHTUNG: Die Verneinung einer Existiert-Genau-Ein-Aussage ist keine Allaussage! Man
muss komplizierter formulieren. Die Verneinung von ”
Ich habe genau einen Bruder.“ ist am
kürzesten formuliert ”
Ich habe nicht genau einen Bruder.“ Möchte man das ”
nicht“ zur
Aussage befördern, dann muss man mit einer Fallunterscheidung operieren: ”
Ich habe keinen
Bruder oder mehr als einen Bruder.“
3.2.3.3. Reihenfolge von Quantoren (∀∃ oder ∃∀?). Seien Sie vorsichtig, wenn
mehr als ein Quantor ∀ oder ∃ in einem Satz vorkommt. Dabei kommt es nämlich wesentlich
auf die Reihenfolge an.
Beispiel 3.2.7. Sei M die Menge aller Männer und F die Menge aller Frauen. Die
Aussage h(m, f) sei ”
m ist verliebt in f“. Unter diesen Voraussetzungen machen Sie sich
die Bedeutung der beiden Aussagen klar. Danach werden Sie immer auf die Reihenfolge der
Quantoren achten.
(1) ∀m ∈ M : ∃f ∈ F : h(m, f).
(2) ∃f ∈ F : ∀m ∈ M : h(m, f).