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84 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA Nun stellt sich die Frage, ob und welche weiteren Eigenschaften gelten müssen, damit H ⊆ G zur Untergruppe wird. Die Antwort gibt die folgende Proposition. Proposition 5.2.28 (Charakterisierung von Untergruppen). Eine Teilmenge H ⊆ G einer Gruppe (G, ◦, e) ist genau dann eine Untergruppe, wenn eine der beiden äquivalenten Bedingungen gilt: (1) Für alle g, h ∈ H ist auch g ◦ h −1 ∈ H (2) Für alle g, h ∈ H liegt die Verknüpfung g ◦ h ∈ H und zusätzlich liegt zu jedem Element h ∈ H auch das Inverse h −1 ∈ H. Ist G abelsch, dann auch H. Beweis. Zuerst beweisen wir die Äquivalenz der Eigenschaften. (1) ⇒ (2): Ist für je zwei Elemente g, h ∈ H auch g ◦ h −1 ∈ H, so sehen wir sofort, dass e = g ◦ g −1 ∈ H liegt. Damit ist aber auch zu jedem g ∈ H das Element e ◦ g −1 = g −1 ∈ H. Ferner muss dann aber für g, h −1 ∈ H das Element g ◦ (h −1 ) −1 = g ◦ h ∈ H liegen. (2) ⇒ (1): Seien g, h ∈ H. Dann erhalten wir h −1 ∈ H, und daher ist auch g ◦ h −1 ∈ H. Das beweist die behauptete Äquivalenz. Nun zeigen wir, dass die Bedingung (2) impliziert, dass H eine Gruppe ist. Der erste Schritt dabei ist zu zeigen, dass (H, ◦) ein Gruppoid bildet, dass also ◦ eine Verknüpfung auf H ist. Das ist aber tatsächlich der Fall, weil wir schon wissen, dass für je zwei Elemente g, h ∈ H auch g ◦h ∈ H liegt. Damit ist aber H bereits eine Halbgruppe, denn das Assoziativgesetz gilt, weil es sogar für alle Elemente in G erfüllt ist. Das Einselement e von G liegt ebenfalls in H, da für jedes Element g ∈ H auch g ◦g −1 = e ∈ H sein muss. Schließlich besitzt jedes Element g ∈ H ein Inverses in G, nämlich g −1 , von dem wir bereits wissen, dass es in H liegt. Das beweist alle Gruppeneigenschaften für (H, ◦, e), und daher ist H eine Untergruppe von G. Die umgekehrte Richtung, d.h. dass für eine Untergruppe U die Eigenschaft (2) gilt, ist klar. Nun fehlt nurmehr die Aussage über die Kommutativität, die aber ebenfalls leicht einzusehen ist. Wenn G abelsch ist, dann erfüllen alle Elemente in G das Kommutativgesetz, also erst recht alle in H. □ Ein wichtiger Begriff der Algebra fehlt noch. Wir haben jetzt aus zuvor unbedarften Mengen neue mathematische Strukturen geschaffen, indem wir auf ihnen eine Verknüpfung eingeführt haben. Dann haben wir die Eigenschaften dieser Verknüpfungen untersucht und sind so schließlich zur Definition der Gruppe gekommen. Wo sind aber die versprochenen Verbindungen zwischen unseren Gruppenobjekten? Bei den Mengen hatten wir die Abbildungen. Was sollen wir bei den Gruppen verwenden. Die Lösung ist einfach. Gruppen sind Mengen, also können wir mit Abbildungen anfangen. Um allerdings die Gruppenstruktur nicht zu vergessen, müssen wir von den Abbildungen verlangen, dass sie die Gruppenstruktur nicht zerstören. Das führt zur folgenden Definition. Definition 5.2.29 (Gruppenhomomorphismus). Seien (G, ◦) und (H, ) Gruppen. (i) Ein Gruppenhomomorphismus von G nach H ist eine Abbildung f : G → H mit ∀g 1 , g 2 ∈ G : f(g 1 ◦ g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ). Das bedeutet also, dass es unerheblich ist, ob man zuerst in G verknüpft und dann nach H abbildet oder zuerst nach H abbildet und dann dort verknüpft. (ii) Ist die Abbildung f bijektiv, dann heißt sie Gruppenisomorphismus; in diesem Fall sagen wir die beiden Gruppen sind isomorph.
5.2. GRUPPEN 85 (iii) Sind G und H nur Halbgruppen, so heißt f Halbgruppenhomomorphismus. Ist f zusätzlich bijektiv, so heißt f Halbgruppenisomorphismus. (iv) Sind G und H lediglich Gruppoide, so heißt f Gruppoidhomomorphismus. Ist f zusätzlich bijektiv, so heißt f Gruppoidisomorphismus. Wie aus der obigen Definition bereits erahnt werden kann, werden in der Mathematik Abbildungen zwischen Mengen mit zusätzlicher Struktur, die diese Struktur erhalten Homomorphismen genannt und der Name der Struktur vorangestellt. Bijektive Homomorphismen heißen Isomorphismen, wobei ebenfalls der Name der Struktur vorangestellt wird. Homomorphismen von Mengen auf sich heißen Endomorphismen und Isomorphismen von Mengen auf sich Automorphismen, wobei wiederum jeweils der Name der Struktur vorangestellt wird. Ein Gruppenisomorphismus (wie jeder andere Isomorphismus in der Mathematik auch) ist im wesentlichen nichts anderes als eine Umbenennung der Gruppenelemente. Dass solche Umbenennungen mitunter sehr praktisch sein können, muss nicht extra erwähnt werden. Zwei isomorphe Strukturen sind vom Standpunkt der Strukturtheorie aus ununterscheidbar. Oftmals kann man sich bei der Untersuchung der Eigenschaften eines bestimmten Objektes damit wesentlich weiter helfen, einen Isomorphismus zu einem bereits bekannten Objekt zu konstruieren. Beispiel 5.2.30 (Gruppenhomomorphismen). • Die Abbildung, die jedem z ∈die reelle Zahl z ∈Êzuordnet, ist ein Gruppenhomomorphismus von (, +) in (Ê, +). • Die Abbildung f von S nachÆ, die jedem Strichblock die Anzahl der enthaltenen Striche zuordnet, ist ein Halbgruppenhomomorphismus von S nachÆ. Haben wir zu S den leeren Strichblock hinzugefügt, dann ist f : S →Æbijektiv, also ein Halbgruppenisomorphismus. Die Menge der Strichblöcke ist also von den natürlichen Zahlen nicht unterscheidbar vom Standpunkt der Halbgruppentheorie aus. Die Menge S ist eine Möglichkeit,Æzu konstruieren. Eine andere Variante, in derÆaus den Mengenaxiomen hergeleitet wird, findet sich in Abschnitt 6.1.1. • Seien G und H Gruppen, so kann trivialerweise immer der folgende Gruppenhomomorphismus definiert werden: f(g) = e ′ ∀g ∈ G, wobei e ′ das Einselement in H ist. • Ein äußerst wichtiges Beispiel ist die Abbildung f : (Ê, +) → (Ê\{0}, ·) f(x) = e x (e, die Eulersche Zahl). f ist ein Gruppenhomomorphismus, da für alle x, y ∈Êgilt, dass f(x+y) = e x+y = e x e y . Schränkt man den Zielbereich von f aufÊ+ = {x ∈Ê:x>0} ein ((R + , ·) ist Untergruppe von (Ê\{0}, ·)!), so ist f sogar ein Gruppenisomorphismus mit Umkehrabbildung f −1 (z) = log z. Zum Abschluss des Abschnitts zeigen wir, dass Definition 5.2.29 tatsächlich ausreicht, um die gesamte Gruppenstruktur zu respektieren. Es ist nicht nur unerheblich ob vor oder nach der der Anwendung von f verknüpft wird, sondern das Einselement wird auf das Einselement abgebildet und so ist es auch egal, ob vor oder nach der Abbildung invertiert wird. Proposition 5.2.31 (Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen). Sei f ein Gruppenhomomorphismus von (G, ◦, e) nach (H, , e ′ ). Dann gilt (1) f(e) = e ′ und (2) ∀g ∈ G : f(a −1 ) = (f(a)) −1 .
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Einführung in das mathematische Ar
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ii INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 6. Za
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4 1. EINLEITUNG Gliedern Sie ihren
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