Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.4. DIE REELLEN ZAHLENÊ 117
Wir definieren r ′ := q − r und wissen r ′ < y, also y − r ′ > 0. Weil S ein Schnitt ist,
bedeutet das s := y −r ′ + q ∈ S. Setzen wir nun zusammen, so haben wir −r ∈ −S
und s ∈ S mit
−r + s = −r + y − r ′ + q = −r + y − q + r + q = y.
Das impliziert y ∈ S + (−S) und daher ist 0 = S + (−S).
Die Verträglichkeit von + und ≤, also O1 beweisen wir als nächstes (siehe Definition
6.3.1).
Proposition 6.4.19. Für je drei Elemente S, T und U von R gilt
S ≤ T =⇒ S + U ≤ T + U.
Beweis. Seien drei Schnitte S, T und U gegeben mit S ≤ T. Sei y ∈ T + U. Dann
existieren t ∈ T und u ∈ U mit y = t + u. Weil s ≤ T gilt, wissen wir S ⊇ T und damit
t ∈ S. Daher ist t + u = y auch in S + U, was wiederum S + U ≤ T + U bestätigt. □
Ein Schnitt S heißt positiv, falls S > 0 gilt. Er heißt nichtnegativ, falls S ≥ 0 erfüllt
ist. Analog führen wir die Bezeichnungen negativ und nichtpositiv ein. Für einen negativen
Schnitt S ist −S positiv. Das folgt aus der Verträglichkeit von + und ≤ in Proposition 6.4.19.
Es fehlt zum Körper die zweite Operation.
Definition 6.4.20. Wir definieren die Abbildung · : R × R →ÈÉwie folgt: Für zwei
nichtnegative Schnitte S und T sei
S · T := {st | s ∈ S ∧ t ∈ T }.
Darüber hinaus erklären wir
⎧
⎪⎨ −((−S) · T) falls S < 0 und T ≥ 0
S · T := −(S · (−T)) falls S ≥ 0 und T < 0
⎪⎩
(−S) · (−T) falls S < 0 und T < 0.
Wegen der Bemerkungen vor der Definition ist die Abbildung · wohldefiniert.
Proposition 6.4.21. Die Abbildung · ist eine Verknüpfung auf R. Es gilt (R, +, ·) ist
ein Körper.
Beweis. Zuerst müssen wir beweisen, dass für nichtnegative Schnitte S und T die Menge
S · T wieder ein Schnitt ist. Es existiert s ∈ S und t ∈ T, daher ist st ∈ S · T, welches somit
nichtleer ist.
Weil S und T nichtnegativ sind, folgt 0 ⊇ S und 0 ⊇ T, und daher ist 0 ∈Éuntere
Schranke von S und T. Wir erhalten ∀s ∈ S : 0 ≤ s und ∀t ∈ T : 0 ≤ t. Wegen Proposition
6.3.2.(3) gilt ∀s ∈ S : ∀t ∈ T : 0 ≤ st, und daher ist S · T nach unten beschränkt.
Sei q ∈É\(S · T). Ist s ∈ S beliebig, dann gilt ∀t ∈ T : st ≠ q, und daher haben wir
wegen s > 0 auch ∀t ∈ T : t ≠ q/s. Das wiederum bedingt, dass q/s ∈É\T liegt, weshalb
∀t ∈ T : t ≥ q/s. Umgeformt bedeutet das ∀t ∈ T : ts ≥ q, was S1 impliziert.
Für y ∈ S · T existieren s ∈ S und t ∈ T mit y = st. Ferner gibt es s ′ ∈ S mit s ′ < s
und t ′ ∈ T mit t ′ < t. Weil alle Zahlen s, s ′ , t, t ′ größer Null sind, folgt aus Proposition 6.3.2
s ′ t ′ < st, woraus S2 folgt.
Für nichtnegative Schnitte ist das Produkt also wieder ein Schnitt. In den anderen Fällen
wird die Definition auf ein Produkt nichtnegativer Schnitte zurückgeführt, und daher ist ·
tatsächlich eine Verknüpfung auf R.
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