Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

120 6. ZAHLENMENGEN
Schließlich gilt S2, weil für beliebiges s ∈ S wieder ein T ∈ E existiert mit s ∈ T. Da T
ein Schnitt ist, gibt es ein s ′ ∈ T, sodass s ′ < s gilt. Nun ist aber s ′ in der Vereinigung aller
T, also s ′ ∈ S.
Wir beschließen den Beweis mit der Behauptung, dass S = inf E gilt. Offensichtlich ist
S untere Schranke von E, da S ⊇ T für alle T ∈ E erfüllt ist. Sei nun U ∈ R ein Schnitt
mit U > S. Dann ist S U, und daher existiert ein s ∈ S mit s /∈ U. Nun muss es aber ein
T ∈ E geben mit s ∈ T, woraus folgt, dass U T gilt, also ist U keine untere Schranke von
E. Daher stimmt tatsächlich S = inf E und R ist ordnungsvollständig. □
Lemma 6.4.24. Sei (S, +, ·, ≤) ein ordnungsvollständiger geordneter Körper mit geordnetem
UnterkörperÉ. Dann ist jedes Element b ∈ S das Infimum der Menge
Ìb := {s ∈É:b b. Aus Proposition 6.4.5, für deren Beweis
wir nur die Eigenschaften geordneter Körper und Ordnungsvollständigkeit verwendet haben,
folgt, dass es ein q ∈Égibt mit b < q < b ′ . Dann ist aber q ∈Ìb, und daher ist b ′ keine
untere Schranke vonÌb. Das ist ein Widerspruch, also ist b ′ = b.
□
Proposition 6.4.25. Sei (S, +, ·, ≤) ein weiterer ordnungsvollständiger geordneter Körper,
derÉals geordneten Unterkörper enthält, dann sind S und R isomorph.
Beweis. Die Abbildung f : S → R gegeben durch f : s ↦→Ìs ist ein monotoner
Körperisomorphismus.
Zunächst ist f wohldefiniert, denn jedesÌs ist ein Schnitt vonÉ: DassÌs nichtleer
ist, folgt aus der Unbeschränktheit vonÉin S. Weil s eine untere Schranke vonÌs ist,
existiert auch eine rationale Zahl ˜s < s, die untere Schranke vonÌs ist. Gilt q ∈É\Ìs,
dann muss q ≤ s sein wegen der Definition vonÌs. Daher ist q ebenfalls untere Schranke
vonÌs, was S1 beweist. Ist schließlich r ∈Ìs eine rationale Zahl, dann können wir wieder
Proposition 6.4.5 verwenden, um eine rationale Zahl r ′ zu erhalten, mit s < r ′ < r, also
r ′ ∈Ìs, gleichbedeutend mit der Gültigkeit von S2.
Zuerst zeigen wir die Injektivität von f. Seien s ≠ s ′ zwei Elemente von S. O.B.d.A.
ist s > s ′ . Dann giltÌs Ìs ′, weil es eine rationale Zahl zwischen s und s′ gibt (wieder
Proposition 6.4.5). Daher ist f(s) ≠ f(s ′ ).
Die Abbildung f ist surjektiv. Ist T ein beliebiger Schnitt vonÉ, dann ist T ⊆ S nichtleer
und nach unten beschränkt, besitzt also ein Infimum s ∈ S. Sei t ∈ T, dann gilt t > s, weil
wegen der Schnitteigenschaft S2 die Menge T ihr Infimum nicht enthält. Daher ist t ∈Ìs. Sei
umgekehrt t ∈Ìs und damit t > s. Ist t /∈ T, dann folgt aus der Schnitteigenschaft S1, dass
∀t ′ ∈ T : t ≤ t ′ , also ist t eine untere Schranke von T mit t > s, was der Infimumseigenschaft
von s widerspricht. Darum gilt T =Ìs = f(s).
Es bleibt zu zeigen, dass f ein Körperhomomorphismus ist.
• Seien s, t ∈ S. Dann ist f(s) + f(t) =Ìs +Ìt. Es gilt
Ìs +Ìt = {s ′ + t ′ | s ′ ∈Ìs, t ′ ∈Ìt} = {s ′ + t ′ | s ′ > s ∧ t ′ > t} =
• Für s ∈ S folgt
= {s ′ + t ′ | s ′ + t ′ > s + t} =Ìs+t = f(s + t).
−f(s) = −Ìs = {s ′ ∈É|∀t ∈Ìs : s ′ > −t ∧ ∀t ′ ∈É:(t ′ = infÌs ⇒ s ′ ≠ −t ′ )} =
= {s ′ ∈É|s ′ > −s} =Ì−s = f(−s).