Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

1.3. AUFBAUSTOFF 5
• Werden zwei Würfeln geworfen, dann errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass
dabei eine 6 geworfen wird zu 1 6 + 1 6 = 1 3 .
• √ a + b = √ a + √ b.
• log ab = log a log b, log 0 = 0.
1.3. Aufbaustoff
Einige Teile des Schulstoffs und die darüber hinaus gehenden Fakten werden in der Vorlesung
selbst mit ”
voller mathematischer Exaktheit“ vorgetragen. Sie bilden gemeinsame
Grundlage der nachfolgenden Vorlesungen Analysis 1 und Lineare Algebra und Geometrie
1. Im Rahmen dieses Erweiterungsstoffs werden außerdem weitere Sprachregeln und Sprechweisen
erklärt, sowie das Beweisprinzip illustriert.
Einige Teile des Erweiterungsstoffs sind nicht Gegenstand der Prüfung und nur gedacht
als Hinweise und Informationen für die besonders Interessierten. Die Teile des Skriptums,
die gekennzeichnet sind wie dieser Absatz, bilden diesen Zusatzstoff.
Abschließend noch ein Wort zur Exaktheit: Im Prinzip wäre es möglich, den Stoff der
Vorlesung zu entwickeln, ohne irgendwelche mathematische Vorkenntnisse vorauszusetzen.
Dann würde allerdings Ihr Vorwissen über weite Strecken brach liegen und viele der vorgestellten
Konstruktionen würden blutleer und gekünstelt wirken. Um Sie nicht so in eine
Motivationskrise zu treiben, werden wir während wir die Inhalte der Vorlesung exakt aufbauen
auf den reichen Fundus der Schulmathematik zurückgreifen, um so den Stoff anhand
von Beispielen zu motivieren und zu untermalen. Das macht es allerdings nötig, einige mathematische
Begriffe und Objekte zu verwenden, bevor sie im Rahmen der Vorlesung exakt
definiert wurden, d.h. sie naiv zu verwenden und an Ihre bisherige mathematische Erfahrung
zu appellieren.
Denken Sie z.B. an Ihre Kenntnisse über Zahlen. Schon seit der Volksschule ”
wissen“
Sie, dass 1 + 1 = 2 ist. Allerdings, ohne genau sagen zu können, was die einzelnen Symbole
1, + und = eigentlich ”
sind“. Die hier vorkommenden Zahlen 1, 2, . . ., also jene Zahlen
die man zum Zählen verwendet, heißen die natürlichen Zahlen. Per Konvention wollen wir
auch die Null zu den natürlichen Zahlen zählen und diese mitÆbezeichnen. Nehmen wir
zu den natürlichen Zahlen auch die negative Zahlen hinzu, so gelangen wir zu den ganzen
Zahlen, die mitbezeichnet werden. Die Quotienten (Brüche) ganzer Zahlen mit von Null
verschiedenem Nenner heißen die rationalen Zahlen; diese sind bereits ausreichend, um die
meisten praktisch auftretenden Rechnungen zu bewältigen und werden mitÉbezeichnet.
Allerdings wurden schon früh in der Geschichte der Mathematik Zahlen ”
entdeckt“, die
nicht rational sind, z.B. die Länge der Diagonale im Einheitsquadrat. Nimmt man diese
Zahlen hinzu, so landet man schließlich bei den reellen Zahlen, die durch die Zahlengerade
veranschaulicht werden können. In der Schulmathematik wird oft die folgende Vorstellung
bemüht: Man fügt zu den rationalen Zahlen, die man sich als abbrechende oder periodische
Dezimalzahlen vorstellen kann, alle — also auch die nicht abbrechenden — Dezimalzahlen
hinzu.
Haben Sie in der Schule sogar die komplexen Zahlen kennengelernt, so werden Sie sich
sicher freuen, diese am Ende dieses Skriptums wiederzufinden. Bis Sie dorthin gelangt sind
werden Sie allerdings auch schon genau wissen, wie die natürlichen, ganzen, rationalen und
sogar die reellen Zahlen mathematisch exakt definiert sind. Nun aber nocheinmal als Überblick
und zum ”
naiven“ Einstieg: