Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

2.5. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 23
Proposition 2.5.6. (Binomischer Lehrsatz) Es gilt für alle a, b reell und n inÆ:
n∑
( n
(a + b) n = a
k)
k b n−k
Beweis. Zu zeigen ist also
k=0
für alle n inÆund alle a, b inÊ: (a + b) n =
Wir beweisen das mittels vollständiger Induktion.
Induktionsanfang: n = 0
Klarerweise gilt (a + b) 0 = 1. Andererseits
0∑
k=0
Induktionsannahme: Es gelte
( 0
k)
a k b 0−k =
(a + b) n =
Induktionsschritt:
(a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n
n∑
( n
= (a + b) a
j)
j b n−j
=
=
=
=
=
=
=
=
=
n∑
j=0
n∑
j=0
j=0
( n
j)
a j b n−j (a + b)
n∑
k=0
( 0
0)
a 0 b 0 = 1 · 1 · 1 = 1
n∑
j=0
( n
j)
a j b n−j
( n
k)
a k b n−k .
Induktionsannahme
Ausmultiplizieren
( n
j)
(a j+1 b n−j + a j b n−j+1 ) Ausmultiplizieren
n∑
(( ( )
n n
a
j)
j+1 b n−j +
j)a j b n−j+1
j=0
n∑
j=0
n+1
k=0
n+1
( n
j)
a j+1 b n−j +
n∑
j=0
n+1
( n
j)
a j b n−j+1
∑
( ) n ∑
( n
a i b n−i+1 + a
i − 1
j)
j b n−j+1
i=1
j=0
∑n+1
( ) n ∑n+1
( n
a k b n−k+1 + a
k − 1
k)
k b n−k+1
k=0
k=0
∑n+1
(( ) ( )
n
n
a k b n−k+1 +
k − 1 k)a k b n−k+1
∑
(( ) ( n n
a k b n−k+1 +
k − 1 k))
k=0
∑n+1
( ) n + 1
a k b n+1−k
k=0
Das beweist den binomischen Lehrsatz.
k
Ausmultiplizieren
Aufspalten der Summe
Indexverschiebung
j + 1 = i und ( n
n+1)
= 0
( n
)
−1 = 0 und
Laufvariablen umbenannt
Vereinigen der Summen
Herausheben
rekursive Definition von ( )
n
k
□