Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.4. MÄCHTIGKEIT 63
Sorgfältiger Vergleich zwischen den Mengen X und M 0 × M 1 × M 2 zeigt, dass in der Tat
beide Mengen dasselbe beschreiben.
Beispiel 4.3.17. Die Menge aller Abbildungen vonÆnachÊ(oder das Cartesische
Produkt von ”Æ-vielen Kopien vonÊ“) ist die Menge aller reellen Zahlenfolgen
(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , . . .), mit x i ∈Êfür i ∈Æ.
4.4. Mächtigkeit
Eine interessante Eigenschaft von Mengen, die diesen intrinsisch ist, ist ihre Mächtigkeit.
Wie fast alles in der Mengenlehre geht auch dieses Konzept auf Georg Cantor zurück.
Für unendliche Mengen hat er als erster definiert, wann es legitim ist zu sagen, dass zwei
Mengen A und B gleich mächtig ( ”
gleich groß“) sind.
Für endliche Mengen M, also Mengen, die n Stück Elemente (für ein n ∈Æ) enthalten ist
die Mächtigkeit |M| einfach die Anzahl ihrer Elemente. Für unendliche Mengen (also Mengen,
die nicht endlich viele Elemente besitzen) müssen wir aber etwas trickreicher vorgehen.
Definition 4.4.1 (Gleichmächtigkeit). Zwei Mengen A und B heißen gleich mächtig,
wenn eine bijektive Abbildung (eine Bijektion) von A auf B existiert. In diesem Fall sagt
man auch A und B haben gleiche Kardinalität oder die gleiche Kardinalzahl und schreibt
card(A) = card(B).
Diese einfache Definition hat weit reichende Konsequenzen. Es wird unter anderem
möglich, dass eine Menge zu einer ihrer echten Teilmengen gleich mächtig ist.
Beispiel 4.4.2 (Gleichmächtigkeit vonÆundÆg). Betrachten wir die MengeÆund
die MengeÆg aller geraden Zahlen. Es giltÆg Æ, doch die Abbildung f :Æ→Æg mit
f : x ↦→ 2x ist eine Bijektion. Die MengenÆundÆg sind also gleich mächtig.
Es stellt sich heraus, dass nur die endlichen Mengen die Eigenschaft haben, eine größere
Mächtigkeit zu besitzen als alle ihre echten Teilmengen.
Proposition 4.4.3 (Charakterisierung unendlicher Mengen). Eine Menge ist unendlich
genau dann, wenn sie eine gleich mächtige echte Teilmenge besitzt.
Beweis. Ohne Beweis.
Schon Cantor hat gezeigt, dass aus der Mächtigkeitsdefinition gefolgert werden kann,
dass unendlich große Mengen nicht gleich groß zu sein brauchen. Es gibt auch bei unendlichen
Menge Größenunterschiede. In der Mengentheorie ist also ”
unendlich nicht
gleich unendlich“.
Das Wort unendlich ist in der Mathematik allgegenwärtig. Die meisten vom Mathematiker
behandelten Gegenstände sind unendlich (z.B.Æ,Ên , ...), die meisten Aussagen in
mathematischen Theorien handeln von unendlich vielen Objekten.
Das Symbol für den Ausdruck unendlich ist ∞. Dass es ein (und nur ein) Symbol für
unendlich“ gibt, führt leider oft zu Missverständnissen, wird doch von vielen daraus geschlossen,
dass man mit unendlich so umgehen kann wie mit den reellen oder komplexen
”
Zahlen.
Eine Menge M hat unendlich viele Elemente
Diese Aussage bedeutet, dass es keine natürliche Zahl n gibt mit |M| = n. Man schreibt
abkürzend manchmal |M| = ∞. Es bezeichnet |M| die Mächtigkeit (Kardinalität) von M,
doch ∞ ist keine Kardinalzahl. Daher ist obige Formulierung keine mathematisch exakte
Aussage.
Man verwendet ∞ bei der Beschreibung von Grenzübergängen wie etwa in
lim
n→∞ a n
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