Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

2.2. INDIZES 9
Euklids Werk ”
Die Elemente“ in dem er den Großteils des damals bekannten mathematischen
Wissens zusammentrug.
Schließlich beweisen wir noch die oben oben verwendetet Tatsache, dass jede natürliche
Zahl größer 1 in Primfaktoren zerlegt werden kann. Wieder werden wir einen indirekten
Beweis führen.
Lemma 2.1.4. (Existenz der Primfaktorzerlegung) Sei a > 1 eine natürliche Zahl. Dann
gibt es Primzahlen p 1 , . . .,p k , sodass
a = p 1 p 2 · · ·p k .
Beweis. Wir nehmen indirekt an, dass die Aussage des Lemmas falsch ist, also nicht
alle Zahlen größer 1 in Primfaktoren zerlegt werden können. Sei a die kleinste solche Zahl.
Zunächst kann a keine Primzahl sein, denn sonst könnten wir a = p schreiben und a wäre
ein (triviales) Produkt von Primzahlen. Also muß es eine Zahl b geben, die a teilt. D.h. wir
können schreiben a = bc für ein geeignetes c und b, c < a.
Nun können wir b und c in Primfaktoren zerlegen (sie sind ja kleiner als a); es gilt also
b = p 1 · · ·p s und c = p s+1 · · ·p k für gewisse Primzahlen p 1 , . . ., p k .
Zusammengefasst gilt also
a = bc = p 1 · · ·p s · p s+1 · · ·p k ,
was einen Widerspruch zu unserer Annahme darstellt.
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2.2. Indizes
Im Beweis von Theorem 2.1.3 sind Ausdrücke der Form p 1 , . . .,p n und p i vorgekommen.
Die unter das p tiefer gestellten Zahlen und Buchstaben nennt man Indizes.
Indizes dienen dazu, miteinander verwandte Objekte weitgehend einheitlich zu bezeichnen.
Darum keine Angst vor Indizes. In vielen Fällen sind sie einfacher und klarer als alle
anderen Darstellungsmöglichkeiten. Besonders im Zusammenhang mit Summen und Produkten
(siehe Abschnitt 2.3) treten sie häufig auf.
Eine wichtige Eigenschaft eines Index ist, dass er verschiedene Werte annehmen kann,
ganz wie eine Variable. So kann der Index i im Ausdruck p i im Beweis zu Theorem 2.1.3 als
Wert alle natürlichen Zahlen von 1 bis n annehmen.
Die Einzahl von Indizes ist übrigens Index und nicht Indiz, deren Mehrzahl lautet Indizien,
und diese haben in Gerichtssälen nicht aber in Mathematiktexten ihren Platz.
Es ist z.B. offensichtlich, dass die Argumente der Funktion h im folgenden Beispiel allesamt
Variable sein sollen, und dass h genau n Argumente benötigt.
h(x 1 , . . .,x n )
Vergleichen Sie das mit der viel unklareren Schreibweise
h(x, y, . . ., z)
Besonders in der linearen Algebra werden Indizes von Anfang an auftreten. Auch Doppel-
(A 12 , a kl , b i,j+1 ) und sogar Mehrfachindizes (r 12345 , p ijkm , Y i,i+1,...,i+n ), ja selbst indizierte
Indizes (Y i1 ,...,i n
) sind möglich und sinnvoll. Folgender Rat:
Machen Sie sich immer klar, was welcher Index bedeutet. Falls Buchstaben
als Index auftreten, behalten sie immer im Auge, welche Werte der Index
annehmen kann.