Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.3. ABBILDUNGEN 57
4.3. Abbildungen
Wie bereits früher erwähnt, besteht ein großer Teil der modernen Mathematik in der
Analyse von Strukturen. Diese Strukturen bestehen aus Objekten und den Beziehungen
zwischen diesen Objekten. Wir haben schon erwähnt, dass Mengen für die meisten Strukturen
die Basis bilden. Die in diesem Abschnitt behandelten Abbildungen sind neben den
Relationen die Basis für die Beziehungen zwischen Objekten.
Wegen der zentralen Bedeutung des Begriffs Abbildung bzw. Funktion (diese beiden
Bezeichnungen werden synonym verwendet; siehe auch unten) werden wir zwei Definitionen
geben. Wir beginnen mit der weniger abstrakten, die Ihnen sicherlich bekannt vorkommen
wird.
Definition 4.3.1 (Funktion). Seien A und B Mengen.
(i) Unter einer Funktion oder Abbildung f von A nach B verstehen wir eine Vorschrift,
die jedem a ∈ A genau ein b ∈ B zuordnet.
(ii) Das dem Element a zugeordnete Element b bezeichnen wir mit f(a) und nennen es
den Wert der Funktion f an der Stelle a oder das das Bild von a unter f; a wird
als Urbild von b unter f bezeichnet.
(iii) Weiters wird A als Definitionsmenge oder -bereich von f bezeichnet und B als
Zielmenge oder -bereich von f.
WICHTIG: Zur Festlegung einer Funktion muß man ausdrücklich Definitions- und
Zielmenge angeben. Meist werden die Schreibweisen
f : A → B oder A f −→ B
verwendet. Die Angabe der Zuordnungsvorschrift alleine ist keinesfalls ausreichend (siehe
auch Beispiel 4.3.10 unten)!
Das Symbol
a ↦→ f(a)
drückt aus, dass die Funktion f dem Element a des Definitionsbereichs das Bild f(a) im
Zielbereich zuordnet. Oft wird dieses Symbol auch zur Bezeichnung der Funktion selbst
verwendet und man spricht von der Funktion a ↦→ f(a)“ (lies: a geht über (in) f(a)). Dann
”
muss allerdings Definitions- und Zielbereich gesondert angegeben werden.
Die ausführlichste und genaueste →Ê
Darstellung einer Funktion erfolgt durch die Notation
→Ê
f : A → B
f : A → B
bzw.
a ↦→ f(a)
f(a) = . . .
Beispiel 4.3.2 (Funktionsschreibweise). Die Funktion, die jeder nichtnegativen reellen
Zahl ihre Quadratwurzel zuordnet schreiben wir
f : [0, ∞[
x ↦→
√ f : [0, ∞[
bzw.
x
f(x) = √ x.
Einen Schönheitsfehler hat unserer Definition allerdings: sie beruht auf dem Wort ”
Zuordnung“,
das wir strenggenommen gar nicht definiert haben — obwohl in diesem Fall die
alltagssprachliche Bedeutung den mathematsichen Inhalt sehr genau trifft. Dieses Problem
können wir umgehen, indem wir eine rein mengentheoretische Definition des Funktionsbegriffs
geben. Das ist unser nächstes Ziel.
Nach unserer obigen Definition setzt eine Funktion f : A → B die Elemente a von A mit
gewissen Elementen b = f(a) von B in Verbindung; fassen wir diese zu geordneten Paaren
(a, b) zusammen, so folgt aus der Eindeutigkeit der Zuordnung, dass Paare mit gleichen
ersten Komponenten gleiche zweite Komponenten besitzen, also bereits (als geordnetes Paar)