Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.3. ABBILDUNGEN 59
Obwohl der Begriff der Abbildung zentral für die moderne Mathematik ist, wurde er
erst sehr spät (im zwanzigsten Jahrhundert!) formalisiert. Daher existieren abhängig vom
betrachteten Gebiet viele verschiedene Ausdrücke für Abbildung.
Der Terminus Abbildung ist der allgemeinste, doch der Begriff Funktion ist ein Synonym,
auch wenn er meist dann verwendet wird, wenn B ein Körper (siehe Kapitel 5) ist.
Eine Transformation ist eine Abbildung einer Menge in sich (also für A = B). Eine
bijektive (siehe Definition 4.3.9 (iii) unten) Transformation einer endlichen Menge heißt auch
Permutation.
Ein Operator ist eine Abbildung zwischen Mengen von Abbildungen. So bildet etwa der
Ableitungsoperator jede differenzierbare Funktion auf ihre Ableitungsfunktion ab.
Schließlich taucht besonders in der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis der
Begriff Form auf. Dieser beschreibt eine multilineare Abbildung in den Grundkörper eines
Vektorraums (siehe Lineare Algebra!).
Es ist wichtig, in Texten zwischen der Funktion f und den Werten f(x) einer Funktion
zu unterscheiden.
Die Abbildung f(x) ...
Dafür hat man die ↦→-Notation.
Die Abbildung f : x ↦→ f(x) ...
wäre in Ordnung.
Wir können mit Hilfe einer Abbildung ganze Teilmengen von A nach B abbilden.
Definition 4.3.6 (Bild). Sei f : A → B eine Abbildung, und sei M ⊆ A eine Teilmenge.
Wir nennen die Menge
das Bild der Menge M unter f.
f(M) := {b ∈ B | ∃a ∈ M : f(a) = b}
Umgekehrt können wir für eine Teilmenge N ⊆ B des Bildbereichs alle Elemente in A
suchen, deren Bilder in N liegen.
Definition 4.3.7 (Urbild). Sei wieder f : A → B eine Abbildung.
(i) Sei N ⊆ B eine Teilmenge des Bildbereichs. Wir definieren die Menge
f −1 (N) := {a ∈ A | f(a) ∈ N}
und nennen sie das Urbild der Menge N unter f.
(ii) Für ein Element b ∈ B definieren wir das Urbild von b durch f −1 (b) := f −1 ({b}).
Beachten Sie dabei, dass das Urbild von b eine Menge ist!
Beispiel 4.3.8 (Bild und Urbild). Betrachten wir nochmals die Funktion f :Ê→Êmit
f(x) = x 2 . Das Bild der Menge M = [−1, 1] ist die Menge f(M) = [0, 1]. Das Urbild von
N = [−4, 4] ist die Menge f −1 (N) = [−2, 2], und das Urbild des Punktes 9 ist die Menge
f −1 (9) = {−3, 3}.
Kommen wir jetzt zu den drei grundlegenden Eigenschaften von Abbildungen.
Definition 4.3.9 (Injektiv, surjektiv, bijektiv). Sei f : A → B eine Abbildung.
(i) Wir sagen f ist injektiv, wenn jedes Element b ∈ B von f höchstens einmal
getroffen wird, d.h. höchstens ein Urbild hat. Anders ausgedrückt verlangen wir,
dass verschiedene Urbilder auch verschiedene Bilder haben. In Symbolen können wir
schreiben
x ≠ y ∈ A ⇒ f(x) ≠ f(y) oder f(x) = f(y) ⇒ x = y.