Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

80 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
Die Eigenschaften (G1) bis (G3) nennt man auch oft die Gruppenaxiome. Sie besagen —
anders ausgedrückt — dass eine Gruppe ein Monoid mit der zusätzlichen Eigenschaft ist,
dass jedes g ∈ G ein Inverses besitzt; siehe dazu auch Abbildung 5.2.
Gruppen werden in weiten Teilen der Mathematik benötigt. Sie beschreiben nicht nur
Bewegungen sondern auch Symmetrien. Sie spielen ihre Rolle bei der Untersuchung von Differentialgleichungen
genauso wie bei der Lösung von Optimierungsaufgaben oder der Lösung
kombinatorischer Probleme. Zweifellos gehören Gruppen zu den zentralen Begriffen der Mathematik.
Auch im nächsten Abschnitt und in der linearen Algebra werden Gruppen gebraucht
werden. Es ist also unerlässlich, diesen Begriff sorgfältig mit Fleisch (also mit Beispielen) zu
füllen.
Beispiel 5.2.19 (Gruppen).
(i) Aus unserer Beispielliste bilden die ganzen Zahlen (, +) und die reellen Zahlen
(Ê, +) eine abelsche Gruppe, so wie auch (Ê\{0}, ·). Das selbe gilt für die Translationen
und (M 2 (Ê), +)
(ii) Nicht kommutative Gruppen sind die Drehungen und die invertierbaren Matrizen in
(M 2 (Ê), ·).
(iii) Die einelementige Menge M = {e} ist eine abelsche Gruppe mit der einzig möglichen
Verknüpfung e ◦ e = e, sie heißt Permutationsgruppe von einem Element S 1 oder
triviale Gruppe.
Wir wollen nun zeigen, dass Definition 5.2.18 teilweise redundant ist. Tatsächlich genügt
es, folgende Abschwächung der Gruppenaxiome zu fordern.
Proposition 5.2.20. Sei (G, ◦) ein Gruppoid. Sind folgende Eigenschaften erfüllt, dann
ist G eine Gruppe.
(G1) Assoziativgesetz:
(G2’) Linkseinselement:
(G3’) Linksinverse:
Gilt außerdem noch
(G4) Kommutativgesetz:
dann ist G eine abelsche Gruppe.
∀g, h, k ∈ G : (g ◦ h) ◦ k = g ◦ (h ◦ k),
∃e ∈ G : ∀g ∈ G : e ◦ g = g,
∀g ∈ G : ∃g −1 ∈ G : g −1 ◦ g = e.
∀g, h ∈ G : g ◦ h = h ◦ g,
Beweis. Wir haben nicht alles vorausgesetzt, was wir vorher von einer Gruppe verlangt
hatten. Eigenschaft G1, das Assoziativgesetz macht (G, ◦) zu einer Halbgruppe, doch wir haben
nur Linkseinselement und Linksinverse vorausgesetzt. Wir müssen also zeigen, dass das
Linkseinselement auch Rechtseinselement ist und dass alle Linksinversen auch Rechtsinverse
sind.