Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.5. AXIOMATISCHE MENGENLEHRE 67
Ausnahme ∈, und dass ϕ und ψ beliebige Formeln bezeichnen, deren Variable in Klammern
angegeben werden.
Mit Hilfe der ersten sechs ZFC Axiome kann die gesamte endliche Mathematik konstruiert
werden. Sie lauten wie folgt:
(ZF1) ∃x : (x = x)
(Existenz)
(ZF2) ∀x : ∀y : ∀z : ((z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y) (Extensionalität)
(ZF3) ∀U : ∀p : ∃Z : ∀x : (x ∈ Z ⇔ (x ∈ U ∧ ϕ(x, p))) (Separation)
(ZF4) ∀x : ∀y : ∃Z : (x ∈ Z ∧ y ∈ Z)
(Paare)
(ZF5) ∀F : ∃Z : ∀F : ∀x : ((x ∈ F ∧ F ∈ F) ⇒ x ∈ Z) (Vereinigung)
(ZF6) ∀U : ∃Z : ∀Y : (∀x : (x ∈ Y ⇒ x ∈ U) ⇒ Y ∈ Z) (Potenzmenge)
Wegen des hohen Abstraktionsgrades dieser Axiome ist ein wenig Erklärung von Nöten,
und außerdem müssen wir einige Abkürzungen einführen. Das Axiom ZF1 stellt sicher, dass
Mengen existieren, und ZF2 erklärt, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie
dieselben Elemente haben. Mit Hilfe von ZF3 wird das erste Konstruktionsprizip für neue
Mengen eingeführt, die Auswahl einer Teilmenge Z aus einer gegebenen Menge U mit Hilfe
einer Auswahlregel“ ϕ. Für diese Menge Z führen wir die Abkürzung {x ∈ U | ϕ(x)} ein.
”
Weitere Abkürzungen seien die Formulierungen ∀x ∈ U, die für ∀x : x ∈ U stehe, und ∃x ∈ U
für ∃x : x ∈ U. ZF3 besagt in gewisser Art und Weise, dass man für jedes Element einer
Menge überprüfen kann, ob es eine bestimmte Eigenschaft ϕ aufweist oder nicht. Das ist
natürlich nur theoretisch möglich, weshalb dies von E. Bishop in [Bishop 1967] als Prinzip
der Allwissenheit bezeichnet wurde.
Aus ZF4 definieren wir {x, y} := {z ∈ Z | z = x ∨ z = y} und {x} := {x, x}. Das
Vereinigungs-Axiom ZF5 ermöglicht es uns mit Hilfe von F = {X, Y } zu definieren
X ∪ Y := {z ∈ Z | z ∈ Z ∨ z ∈ Y }.
Drei weitere Symbole müssen wir einführen, um die weiteren Axiome formulieren zu
können. Es sind dies das Leere Menge-Symbol ∅ := {z ∈ Z | ¬(z = z)} für eine fixe Menge
Z und S(x) := x ∪ {x}. Schließlich erklären wir das (uns bereits naiv bekannte) Symbol ∃!
durch folgende Abkürzungsvereinbarung
∃!y : ϕ(y) entspreche ∃y : ϕ(y) ∧ (∀y : ∀x : (ϕ(y) ∧ ϕ(x)) ⇒ x = y).
Die drei nächsten Axiome sind dann:
(ZF7) ∃Z : ∀X : (∅ ∈ Z ∧ (X ∈ Z ⇒ S(X) ∈ Z)) (Unendlichkeit)
(ZF8) ∀U : ∀p : ( ∀x ∈ U : ∃!z : ϕ(x, z, U, p) ⇒
∃Z : ∀x ∈ U : ∃z ∈ Z : ϕ(x, z, U, p) )
(Ersetzung)
(ZF9) ∀x : ( ¬(x = ∅) ⇒ ∃y : (y ∈ x ∧ ¬∃z : (z ∈ x ∧ z ∈ y)) ) (Fundierung)
Hier ist wieder einiges an Erläuterungen von Nöten. ZF7 garantiert die Existenz einer Menge
mit den Elementen ∅, S(∅), S(S(∅)), . . .. Diese scheinbar schräge Konstruktion wird aber
sofort verständlicher, wenn man die Bezeichungen 0 := ∅, 1 := S(∅), 2 := S(S(∅)), und
allgemein n + 1 := S(n) einführt.
ZF8 hat die komplexeste Formel, doch dieses Axiom stellt nichts anderes sicher als dass
man aus einer Menge U und einer Zuordnung f, die jeder Menge x ∈ U eine Menge y zuordnet,
eine weitere Menge als Bild von U unter f konstruieren kann. Dieses Axiom rechtfertigt
auch die Abkürzung {f(x) | x ∈ U} für die Definition einer Menge.
Das Fundierungsaxiom ZF9 zu guter Letzt schließt unter anderem die Russellsche Antinomie
aus zusammen mit allen Mengen, die in gewissem Sinne zu groß“ sind. Es werden
”
alle Mengen verboten, die sich selbst enthalten oder aber Mengen enthalten, die wiederum
andere Mengen enthalten, und so weiter ad infinitum.
Das letzte Axiom von ZFC hat in der Vergangenheit viele Kontroversen verursacht, da
es dem Mathematiker gestattet, auf nicht konstruktivem Weg neue Mengen zu definieren.