Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.6. DIE QUATERNIONENÀ 129
Interessant ist vielleicht noch eine weitere Darstellung der Quaternionen als Paar (a, A)
mit eine reellen Zahl a und einem Vektor A ∈Ê3 . In diesem Fall lassen sich die Operationen
hinschreiben als
(a, A) + (b, B) = (a + b, A + B)
(a, A)(b, B) = (ab − AB, aB + Ab + A × B),
also fast so wie die Operationen in, bis auf den Term A × B in der Definition der Multiplikation.
An dieser Definition kann man auch schon erahnen, dass Quaternionen etwas mit
Drehungen zu tun haben.
Die Frage, die sich die Mathematiker jetzt stellten war, ob niemand klug genug war, die
richtige Definition einer Multiplikation zu finden, oder ob die Schwierigkeiten einen mathematischen
Grund haben.
Arthur Cayley (1821–1895) hat versucht, die Methode noch einmal anzuwenden und auf
À×À∼ =Ê8 eine Multiplikation einzuführen. Es gelang ihm, die Cayley-Zahlen oder Oktaven
oder OkternionenÇzu definieren, doch deren algebraische Eigenschaften lassen doch deutlich
mehr zu wünschen übrig als die der Quaternionen. Okternionen sind nicht einmal mehr ein
Schiefkörper. Es besitzt zwar jedes Element ein eindeutiges Inverses, doch die Multiplikation
ist nicht assoziativ! Solch eine algebraische Struktur, in der über einer abelschen Gruppe eine
Multiplikation definiert wird, die die Distributivität erfüllt und wo Einselement und Inverse
existieren, heißt (nichtassoziative) Divisionsalgebra.
Ein tiefer Satz aus der Differentialgeometrie besagt nun, dass Divisionsalgebren überÊn
nur in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 existieren, und in jeder dieser Dimensionen genau
eine, nämlichÊ,,ÀundÇ. Es war also nicht Unfähigkeit, die die Mathematiker des 19.
Jahrhunderts daran gehindert hat, über allenÊn eine Körperstruktur zu finden, sondern sie
haben nach nicht Existentem gestrebt.
Damit beenden wir unseren Ausflug in die Welt der Zahlen. Beginnend vonÆ, der Klasse
von Zahlen, deren Geschichte ihren Ursprung bereits in grauer Vorzeit hat, haben wir sie
basierend auf exakten mathematischen Grundlagen neu entdeckt. Weiter ging es über die
ganzen zu den rationalen Zahlen und darauf aufbauend zu den reellen Zahlen, der Grundlage
der Analysis. Auf der Suche nach den Nullstellen der Polynome sind wir zu den komplexen
Zahlen und Gauss’ fundamentalem Theorem gelangt. Selbst die Frage, ob wir damit schon
alle Zahlensysteme gefunden haben, dieÊals Unterkörper haben und in denen man dividieren
kann, haben wir untersucht. Wir haben alle dieser Strukturen gefunden, und daher ist es jetzt
an der Zeit, Neuland zu entdecken und zu erkunden, was Generationen von Mathematikern
aus den hier präsentierten Prinzipien geschaffen haben.
Wir hoffen, dass Ihnen dieser Streifzug durch die Grundlagen der modernen Mathematik
ein wenig Freude bereitet hat und wünschen allen LeserInnen viel Vergnügen mit all
den Theorien, Strukturen und Anwendungen, die im Verlauf ihres Studiums noch kommen
mögen.