Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.4. DIE REELLEN ZAHLENÊ 111
Theorem 6.4.4 (Richard Dedekind (1831–1916)). Es existiert bis auf Isomorphie genau
ein ordnungsvollständiger geordneter KörperÊ, derÉals geordneten Unterkörper besitzt. Wir
nennenÊdie Menge der reellen Zahlen und die Elemente der MengeÊ\Édie irrationalen
Zahlen.
Beweis. In Abschnitt 6.4.1.
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Will man sich nicht auf die mengentheoretischen Konstruktionen in Abschnitt 6.4.1 einlassen,
so kann man sich auf den Standpunkt von Hilbert stellen, der die Einführung reellen Zahlen als ordnungsvollständigen, geordneten Körper den mengentheoretischen Konstruktionen
vorzog, und pragmatisch das Theorem 6.4.4 zur Definition erheben. Das bedeutet
also, die reellen Zahlen als ordnungsvollständigen, geordneten Körper zu definieren, derÉ
als geordneten Unterkörper besitzt; dann garantiert Theorem 6.4.4, dass es einen und nur
einen solchen Körper gibt.
Was auch immer man tut, die folgenden Ergebnisse folgen nur aus den Eigenschaften
und nicht aus der speziellen mengentheoretischen Konstruktion.
∈É
Proposition 6.4.5.
(1) Zu je zwei reellen Zahlen x, y mit x > 0 existiert eine natürliche Zahl n so, dass
nx > y
gilt. Das heißt,Êbesitzt die archimedische Eigenschaft.
(2) Zwischen je zwei reellen Zahlen x, y ∈Êmit x < y gibt es eine rationale Zahl q
und eine irrationale Zahl r ∈Ê\É, d.h. es gibt q ∈Éund r ∈Ê\Émit
x < q < y und x < r < y.
Man sagt auchÉundÊ\Éliegen dicht inÊ.
Beweis. Wir beginnen mit der archimedischen Eigenschaft.
(1) Sei A := {nx | n ∈Æ}. Wäre die archimedische Eigenschaft nicht erfüllt, dann wäre y
eine obere Schranke von A. Damit wäre A nach oben beschränkt und hätte ein Supremum,
weilÊdie Supremumseigenschaft besitzt. Sei α := sup A. Wegen x > 0 ist α − x < α, also
ist α − x keine obere Schranke von A. Somit existiert nach Definition von A eine natürliche
Zahl n mit α − x < nx. Dann ist aber α < (n + 1)x, ein Widerspruch dazu, dass α obere
Schranke von A ist. Also gilt die archimedische Eigenschaft.
(2) Wir beginnen mit der Dichtheit vonÉ. Sei x < y und damit y − x > 0. Wegen der
archimedischen Eigenschaft gibt es eine natürliche Zahl n so, dass n(y − x) > 1 ist. Wir
können auch natürliche Zahlen m 1 und m 2 finden mit m 1 > nx und m 2 > −nx. Wir haben
jetzt
−m 2 < nx < m 1 ,
was die Existenz einer ganzen Zahl m impliziert mit
m − 1 < nx < m und − m 2 ≤ m ≤ m 1 .
Die Kombination aller dieser Ungleichungen liefert
nx < m < 1 + nx < ny
x < m n < y,
wobei die letzte Ungleichung aus n > 0 folgt. Setzen wir q = m , so haben wir alles bewiesen,
n
was behauptet wurde.
Nun zuÊ\É:Wenden wir obiges Argument zweimal an, so können wir rationale Zahlen
q 1 und q 2 an mit x < q 1 < q 2 < y. Wir definieren
r := q 1 + q 2 − q 1
√
2 > q1 .
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