Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

94 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
(K9) Seien wieder a, b, c ∈É×É. Auch das letzte Axiom ist eine längliche Rechnung:
ab + ac = (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) + (a 1 , a 2 )(c 1 , c 2 ) =
= (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + (a 1 c 1 + 2a 2 c 2 , a 1 c 2 + a 2 c 1 ) =
= (a 1 b 1 + a 1 c 1 + 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 , a 1 b 2 + a 1 c 2 + a 2 b 1 + a 2 c 1 ) =
= ( a 1 (b 1 + c 1 ) + 2a 2 (b 2 + c 2 ), a 1 (b 2 + c 2 ) + a 2 (b 1 + c 1 ) ) =
= (a 1 , a 2 )(b 1 + c 1 , b 2 + c 2 ) = (a 1 , a 2 ) ( (b 1 , b 2 ) + (c 1 , c 2 ) ) = a(b + c).
Wir haben also alle Eigenschaften nachgeprüft, und daher ist (É×É, +, ·) wirklich ein Körper.
Als nächstes definieren wir eine Abbildung f :É×É→É[ √ 2] durch (a 1 , a 2 ) ↦→ a 1 +a 2
√
2.
Die Abbildung ist offensichtlich bijektiv, und es gilt
f(a + b) = f((a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 )) = f((a 1 + b 1 , a 2 + b 2 )) = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) √ 2 =
= (a 1 + a 2
√
2) ⊕ (b1 + b 2
√
2) = f(a) ⊕ f(b),
f(ab) = f((a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 )) = f((a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 )) =
= (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) √ 2 = (a 1 + a 2
√
2) ⊗ (b1 + b 2
√
2) = f(a) ⊗ f(b),
Daher ist f ein Körperisomorphismus, deshalb ist (É×É, +, ·) isomorph zuÉ[ √ 2]. Die beiden
Strukturen sind also identisch bis auf Umbenennen der Elemente.
Damit schließen wir unsere algebraischen Untersuchungen ab. Aufbauend auf den Körperaxiomen
werden in der Linearen Algebra darüber hinaus gehend neue Strukturen erschaffen
werden wie die eines Vektorraumes. Für die Analysis werden wir genauere Untersuchungen
der rationalen, reellen und komplexen Zahlen benötigen. Alle diese Mengen sind mit den
bereits bekannten Rechengesetzen ausgestattet und bilden Körper.
In der (höheren) Algebra wird mit der genaueren Untersuchung der Strukturen selbst
fortgefahren werden. Man wird Fragen stellen wie: Welche Arten von Gruppen, Ringen,
Körpern gibt es? Kann man alle endlichen Gruppen, Ringe, Körper finden? Alle diese Fragen
und viele andere werden zum Ausbau der mathematischen Theorie beitragen und teilweise
tief gehende Resultate hervorbringen.