Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

32 3. LOGIK
Merke: Hat man zwei Aussagen p und q, dann ist p∨q (in Sprache
p oder q) wahr, wenn p oder q oder beide wahr sind.
So ist den meisten SchülernInnen und Studierenden die Aussage, ”
Um eine Prüfung zu
bestehen, muss man viel lernen oder gut schummeln“ allzu gut bekannt.
3.2.1.2. Und (∧). Während die Oder-Verknüpfung einigen Erklärungsbedarf nach sich
gezogen hat, ist die Und-Verknüpfung aus der Umgangssprache intuitiv klar.
Was bedeutet die folgende Aussage?
Die Zahl 6 ist durch 3 teilbar und die Zahl 6 ist durch 2 teilbar.
Klarerweise ist diese Aussage eine Und-Verknüpfung (∧) der beiden Aussagen ”
6 ist durch
3 teilbar“ und ”
6 ist durch 2 teilbar“. Beide diese Aussagen sind wahr, also ist auch die
Und-Verknüpfung der beiden Aussagen wahr, und damit ist auch die Aussage von oben.
Merke: Hat man zwei Aussagen p und q, dann ist p∧q (in Sprache
p und q) wahr, wenn p und q beide wahr sind.
Im Gegensatz zu beliebigen Prüfungen seien die StudentInnen aber gewarnt, dass für die
Prüfung zur Einführungsvorlesung gilt: ”
Zum Bestehen der Prüfung müssen die Studierenden
viel lernen und gut schummeln.“
3.2.1.3. Negation (¬). Die Negation einer Aussage ist klarerweise deren Verneinung.
Wenn wir etwa die Negation der Aussage
Der Fußboden ist blau.
bilden, so erhalten wir natürlich
Der Fußboden ist nicht blau.
ACHTUNG: ”
Der Fußboden ist gelb“ ist keine Verneinung der obigen Aussage!
Interessant wird es, wenn wir Aussagen verneinen, in denen bereits Verknüpfungen ∨
oder ∧ vorkommen. Dann müssen wir achtgeben. Hier helfen uns die Untersuchungen aus
Abschnitt 3.1 weiter, denn in Theorem 3.1.6 haben wir die Regeln von De Morgan kennen
gelernt, die uns Aufschluss darüber geben, was passiert, wenn man Und- und Oder-
Verknüpfungen negiert. Betrachten wir einige Beispiele:
• Verneint man
Der Fußboden ist blau und die Decke ist grün.
so erhält man
Der Fußboden ist nicht blau oder die Decke ist nicht grün.
• Will man dagegen die Aussage
Die Zahl 3 ist eine Primzahl oder die Zahl 4 ist eine Primzahl.
negieren, so muss man folgendermaßen formulieren.
Die Zahl 3 ist keine Primzahl und die Zahl 4 ist keine Primzahl.
Merke: Will man ∧- oder ∨-Verknüpfungen von Aussagen verneinen,
so verneint man die Einzelaussagen und tauscht dann ∧
gegen ∨ aus. Es gelten also die Regeln von De Morgan
¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q.
Die letzte wichtige Regel für Negationen ist schließlich, dass doppelte Verneinungen wegfallen:
Wale sind nicht keine Säugetiere.
bedeutet dasselbe wie
Wale sind Säugetiere.
Merke: Doppelte Verneinungen fallen weg. Es gilt ¬(¬p) = p.