Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.4. MÄCHTIGKEIT 65
der Pfeile der Reihe nach durchlaufen; so wird eine Bijektion aufÆhergestellt.
(0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) · · ·
(0, 1) (1, 1) (2, 1) · · ·
(0, 2) (1, 2) · · ·
(0, 3) · · ·
.
. ..
Eine Formel für die Zuordnung ist
f : (i, j) ↦→ 1 (i + j)(i + j + 1) + j.
2
Nachdem die positiven resp. die negativen rationalen ZahlenÉals Teilmenge vonÆ×Æ
aufgefasst werden können (q = ± m für zwei teilerfremde natürliche Zahlen m und n ≠ 0),
n
ist also auchÉabzählbar. Auch die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen
ist wieder abzählbar. Das kann man mit Hilfe des gleichen Prinzips beweisen (schreibe in
Gedanken alle Mengen untereinander auf und konstruiere die Bijektion analog zur Diagonalabzählung).
Cantor hat aber auch bewiesen, dass es verschiedene Größenklassen von Mengen gibt. So
ist etwa die PotenzmengeÈM einer Menge M immer mächtiger als M selbst (die Mächtigkeit
der Potenzmenge einer Menge erfüllt |ÈM| = 2 |M| ).
Interessant ist, dass die reellen ZahlenÊmächtiger sind alsÆ. Man sagt, die reellen
Zahlen sind überabzählbar. Das hat ebenfalls Cantor gezeigt.
Genauer hat Cantor bewiesen, dass ] 0, 1 [ überabzählbar ist. Die Tatsache, dass ] 0, 1 [ die
gleiche Mächtigkeit wieÊhat, ist einfach zu zeigen. So bildet etwa die Funktion 1 (arctan(x)+
π
π
) ganzÊbijektiv auf ] 0, 1 [ ab. Zum Beweis der Überabzählbarkeit von ] 0, 1 [ verwenden wir
2
die Tatsache, dass sich jede reelle Zahl r als Dezimalentwicklung aufschreiben lässt, und dann
gehen wir indirekt vor. Angenommen, es gäbe eine Bijektion b vonÆauf ] 0, 1 [. Dann stellen
wir uns vor, dass wir alle Zahlen in der Reihenfolge untereinander schreiben wie sie durch die
Bijektion aufÆgegeben ist. Im nachfolgenden Diagramm mögen die a ij für Dezimalziffern
stehen. Die oberste Reihe repräsentiere die Dezimalentwicklung der ersten Zahl, die nächste
Zeile die der zweiten, usw. WäreÊabzählbar, so müsste in diesem Schema jede reelle Zahl
aus ] 0, 1 [ irgendwo auftauchen.
0 : 0, a 01 a 02 a 03 a 04 a 05 a 06 · · ·
1 : 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 · · ·
2 : 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 · · ·
3 : 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 · · ·
4 : 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 · · ·
5 : 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 · · ·
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