Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.4. DIE REELLEN ZAHLENÊ 119
s ∈ S und t ∈ S −1 mit st = q. Weil t ∈ S −1 folgt, dass t > 1 , und daher ist st > 1,
s
woraus S · S −1 ⊆ 1 folgt.
Sei umgekehrt y ∈ 1 gegeben. Wir definieren ε = y − 1 > 0 und wählen uns
gemäß dem Lemma eine positive untere Schranke r ′ von S. Außerdem können wir
wegen Proposition 6.4.11.(1) zwei rationale Zahlen ˜r und s mit r ∈É\S und s ∈ S
und s − ˜r < r ′ ε finden. Sei r = max{˜r, r ′ }. Dann ist immer noch r ∈É\S und
s − r < r ′ ε. Für r und s gilt darüber hinaus noch
s
− 1 < r′ ε
s
< ε also < 1 + ε = y.
r r r
Wir definieren t := yr
s > 1. Dann sind s < st =: s′ ∈ S und 1 r ∈ S−1 und weiters
s ′ 1 r = st
r = yrs
rs = y,
also ist y ∈ S · S −1 , und das impliziert S · S −1 = 1.
Ist S negativ, dann definieren wir S −1 := −((−S) −1 ), und wir haben
S · S −1 = (−S) · (−S −1 ) = (−S) · (−S) −1 = 1.
Zu guter letzt fehlt noch das Distributivgesetz. Wir beginnen wieder mit nichtnegativen
Schnitten S, T und U. Wegen der Distributivität inÉgilt
(S + T) · U = {xu | x ∈ S + T, u ∈ U} = {(s + t)u | s ∈ S, t ∈ T, u ∈ U} =
= {su + tu | s ∈ S, t ∈ T, u ∈ U} = {y + z | y ∈ S · U, z ∈ T · U} =
= S · U + T · U.
Für die sieben übrigen Fälle sei als Beispiel einer bewiesen: Mit U < 0 und S ≥ 0 und T ≥ 0
gilt
(S + T) · U = −((S + T) · (−U)) = −(S · (−U) + T · (−U)) =
Das beweist, dass (R, +, ·) ein Körper ist.
= −(S · (−U)) + (−(T · (−U))) = S · U + T · U.
Proposition 6.4.22. Der Körper (R, +, ·) ist geordnet bezüglich ≤.
Beweis. Es genügt O2 zu beweisen, denn O1 haben wir in Proposition 6.4.19 bereits
nachgewiesen. Seien also S > 0 und T > 0. Dann gibt es positive untere Schranken s von S
und t von T, und daher ist st > 0 eine untere Schranke von S ·T. Das impliziert S ·T > 0. □
Nachdem wir nachgewiesen haben, dass die Menge aller Schnitte R einen geordneten
Körper bildet, bleibt noch die letzte Eigenschaft nachzuweisen.
Proposition 6.4.23. Der geordnete Körper (R, +, ·, ≤) ist ordnungsvollständig.
Beweis. Sei E eine nach unten beschränkte Teilmenge von R. Sei Q ∈ R eine untere
Schranke von E, und sei α ∈Éuntere Schranke von Q.
Wir betrachten die Menge
S := ⋃
T,
T ∈E
die Vereinigung aller Elemente von E.
Wir zeigen zuerst, dass S ein Schnitt ist. Es ist klar, dass S nichtleer ist, denn jedes
T ∈ E ist nichtleer. Außerdem ist α untere Schranke von jedem T ∈ E (weil T ⊆ Q), und
daher auch untere Schranke der Vereinigung.
Nun wählen wir ein q ∈É\S. Für dieses Element gilt, dass ∀T ∈ E : q /∈ T, also
∀T ∈ E : q ∈É\T. Für ein beliebiges s ∈ S gilt nun, dass ∃T ∈ E : s ∈ T, und daher muss
q ≤ s sein, was S1 beweist.
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