Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

46 4. MENGENLEHRE
Beispiel 4.1.2 (Elementbeziehung).
• Es gilt 2 ∈ {2, 4, 7, 9},
• weiters haben wir 42 ∈Æ.
• Steht die Menge links vom Element, so dreht man das Zeichen ∈ einfach um:Ê∋π.
• Wollen wir ausdrücken, dass ein Objekt nicht Element einer bestimmten Menge ist,
so streichen wir das Zeichen ∈ einfach durch, wie in 1 2 /∈Æ.
Definition 4.1.3 (Gleicheit von Mengen). Zwei Mengen gelten genau dann als gleich,
wenn sie dieselben Elemente haben; in Symbolen notiert
A = B
genau dann wenn ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Definition 4.1.4 (Leere Menge). Die leere Menge ∅ ist definiert als die Menge, die kein
Element enthält. Formal kann das z.B. so ausgedrückt werden
∅ := {x | x ≠ x}.
In der Mathematik ist das Symbol ∅ üblich, auch wenn mitunter {} als Bezeichnung für die
leere Menge verwendet wird.
WICHTIG: Beachten Sie, dass ein Element in einer Menge enthalten ist, oder eben
nicht. Es steht immer eindeutig fest, welche Elemente zu einer Menge gehören.
Ein und dasselbe Element kann nicht mehrfach in einer Menge auftreten. Eine Menge ist
eine Ansammlung verschiedener Objekte! Allerdings ist es nicht verboten, einige Elemente
mehrfach anzuführen. {1, 2} ist die gleiche Menge wie {1, 1, 2}. Zugegeben, dieses Beispiel
ist gekünstelt — der Sinn dieser Vereinbarung wird erst dann deutlich wenn man z.B. eine
Menge {a, b, c} untersucht, wobei a, b und c erst später festgesetzt oder näher bestimmt
werden. Dann ist es sehr praktisch, {a, b, c} schreiben zu können, selbst wenn sich später
herausstellen sollte, dass a = b gilt.
4.1.1. Teilmengen. Bevor wir untersuchen, wie wir Mengen mit einander verknüpfen
können, betrachten wir das einfachste Konzept, das von Teilmengen.
Definition 4.1.5 (Teilmenge, Obermenge). Eine Menge B heißt Teilmenge der Menge
A, wenn B nur Elemente von A enthält. In der Sprache der Logik formuliert, bedeutet das
oder kürzer und etwas salopper
Ist B Teilmenge von A, so schreiben wir
∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ A,
∀x ∈ B : x ∈ A.
B ⊆ A oder A ⊇ B.
A heißt dann Obermenge von B.
Beispiel 4.1.6 (Teilmengen). Wir finden etwa:
• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
• Jede Menge M ist ihre eigene Teilmenge. Die Menge M und ∅ heißen die trivialen
Teilmengen von M.
• Alle Teilmengen, die ungleich der Menge selbst sind, nennt man auch echte Teilmengen.
Möchte man betonen, dass B echte Teilmenge von A ist, so schreibt man
meist
B ⊂ A oder expliziter B A.
• Alle Teilmengen von {1, 2, 3} sind ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} und
{1, 2, 3}.