Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.1. DIE NATÜRLICHEN ZAHLENÆ 101
Beweis. Im gesamten Beweis definieren wir eine Menge M und beweisen 0 ∈ M und
die Implikation n ∈ M =⇒ S(n) ∈ M. Dann verwenden wir Korollar 6.1.3, um M =Æzu
schließen.
Zu Beginn beweisen wir die Hilfsbehauptung ∀m, n ∈Æ:(m ≤ n ⇔ S(m) ≤ S(n))). Es
gelten
und
m ≤ n ⇒ m ∈ n ∨ m = n ⇒ S(m) ⊆ n ∨ S(m) = S(n) ⇒
⇒ (S(m) ⊆ S(n) ∧ S(m) ≠ S(n)) ∨ S(m) = S(n) ⇒
⇒ S(m) ∈ S(n) ∨ S(m) = S(n) ⇒ S(m) ≤ S(n).
S(m) ≤ S(n) ⇒ S(m) ∈ S(n) ∨ S(m) = S(n) ⇒ S(m) ∈ n ∪ {n} ∨ m = n ⇒
⇒ S(m) ∈ n ∨ S(m) = n ∨ m = n ⇒ m ∈ n ∨ m = n ⇒ m ≤ n,
was die Hilfsbehauptung zeigt.
(1) M := {k ∈Æ|∀m, n ∈Æ:(m ≤ n ⇒ k + m ≤ k + n)}. Trivial ist 0 ∈ M. Für
k ∈ M wissen wir
m ≤ n ⇒ k + m ≤ k + n ⇒ S(k + m) ≤ S(k + n) ⇒ S(k) + m ≤ S(k) + n.
Daher ist S(k) ∈ M.
(2) Es gilt k ≤ l und daher ist k+m ≤ l+m. Wegen m ≤ n gilt außerdem l+m ≤ l+n.
Aus der Transitivität von ≤ folgt schließlich k + m ≤ l + n.
(3) Sei M := {n ∈Æ|∀k, m ∈Æ:(n + k ≤ n + m ⇒ k ≤ m)}. Es gilt wieder
trivialerweise 0 ∈ M und für n ∈ M finden wir wegen
S(n) + k ≤ S(n) + m ⇒ S(n + k) ≤ S(n + m) ⇒ n + k ≤ n + m ⇒ k ≤ m
und S(n) ∈ M.
(4) M := {k ∈Æ|∀m, n ∈Æ:(m ≤ n ⇒ km ≤ kn)}. Trivial sind 0 ∈ M, da 0 ≤ 0,
und S(0) ∈ M. Für k ∈ M wissen wir
m ≤ n ⇒ km ≤ kn ⇒ km + m ≤ kn + n ⇒ S(k)m ≤ S(k)n.
Daher ist S(k) ∈ M.
(5) Sei M := {k ∈Æ|∀n, m ∈Æ:((n ≠ 0 ∧ nk ≤ nm) ⇒ k ≤ m)}. Es gilt
trivialerweise 0 ∈ M, und für k ∈ M finden wir
nS(k) ≤ nm ⇒ nk + n ≤ nm. (6.6)
Nun unterscheiden wir zwei Fälle. Ist m = 0, so muss nk +n = 0 sein, da die einzige
Zahl z ∈Æmit z ≤ 0 die 0 ist. Das ist aber nur möglich, wenn n = 0 ist; dies ist
aber nicht erlaubt. Also gilt m ≠ 0, und damit existiert m ′ ∈Æmit m = S(m ′ ).
Wir folgern in Gleichung (6.6) weiter
nk + n ≤ nS(m ′ ) ⇒ nk + n ≤ nm ′ + n ⇒ nk ≤ nm ′ ⇒
Daher ist auch S(k) ∈ M und M =Æ.
⇒ k ≤ m ′ ⇒ S(k) ≤ S(m ′ ) = m.
Theorem 6.1.9. Im Halbring (Æ, +, ·) gelten die folgenden Regeln:
(1) Aus nm = 0 folgt bereits n = 0 oder m = 0.
(2) Aus n + m = n + k folgt m = k.
(3) Aus nm = nk für n ≠ 0 folgt m = k.
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