Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.2. GRUPPEN 81
Schritt 1: Wir beginnen mit einer Teilbehauptung. Ist g ∈ G idempotent, so gilt schon
g = e. Wir haben nämlich
gg = g
g −1 (gg) = g −1 g
(g −1 g)g = g −1 g
eg = e
g = e
das Linksinverse g −1 existiert immer
Assoziativität
weil g −1 Linksinverses ist
weil e Linkseinselement ist
Das beweist unsere Teilbehauptung.
Schritt 2: Jetzt beweisen wir, dass das Linksinverse g −1 auch gg −1 = e erfüllt, also Rechtsinverses
ist.
gg −1 = g(eg −1 ) weil e Linkseinselement ist
= g((g −1 g)g −1 )
= (gg −1 )(gg −1 )
weil g −1 Linksinverses ist
Assoziativität.
Aus obiger Beziehung folgt, dass gg −1 idempotent ist. Wir haben aber in Schritt 1 bewiesen,
dass dann schon gg −1 = e gilt.
Schritt 3: Es bleibt noch zu zeigen, dass für alle g ∈ G auch ge = g gilt, e also Rechtseinselement
ist.
ge = g(g −1 g) weil g −1 Linksinverses ist
= (gg −1 )g Assoziativität
= eg das haben wir in Schritt 2 gezeigt
= g e ist Linkseinselement
Wir haben also gezeigt, dass e Einselement ist. Darum ist (G, ◦, e) ein Monoid, und jedes
Element besitzt ein Inverses wegen Schritt 2. Daher ist G eine Gruppe.
Die Aussage über die Kommutativität ist offensichtlich.
□
Bemerkung 5.2.21.
(i) Es existiert nur eine zweielementige Gruppe, nämlich2 := ({0, 1}, +) mit 0+0 = 0,
1 + 0 = 0 + 1 = 1 und 1 + 1 = 0.
(ii) Ist die Menge M endlich, so kann man jede Verknüpfung direkt angeben, indem man
den Wert jedes Elements von M × M in einer Tabelle, der Verknüpfungstabelle
auch Cayley–Tafel, anschreibt.
Für2 würde das die Tabelle
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
ergeben. Sie drückt aus, was wir über das Addieren gerader und ungerader Zahlen
wissen (0 ist die Äquivalenzklasse der geraden Zahlen und 1 diejenige der ungeraden
Zahlen). Gerade plus gerade ist gerade, ungerade plus ungerade ist gerade, gerade
plus ungerade ist ungerade.
Beispiel 5.2.22. Betrachten wir ein ebenes gleichseitiges Dreieck und alle Abbildungen,
die das Dreieck auf sich selbst abbilden (solche Abbildungen nennt man Deckabbildungen).
Es gibt sechs verschiedene solche Abbildungen:
(1) Die Identität I,
(2) Drehung um 2 3 π (120◦ ) D 1 ,
(3) Drehung um 4 3 π (240◦ ) D 2 ,
(4) Spiegelung S a an der Höhe auf a,