Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

3.1. BOOLESCHE ALGEBREN 27
Zum besseren Verständnis der Grundschaltungen bringen wir noch einen Vergleich aus
dem ”
wirklichen Leben“. Wenn Sie als Abenteurer in einem Fantasy-Spiel in ein Haus eindringen
müssen, dann werden Sie zuerst die Türen untersuchen. Besitzt eine Tür zwei Schlösser
A und B, so müssen Sie A und B öffnen, um die Tür zu überwinden. Hat das Haus aber
zwei Türen a und b, so müssen Sie a oder b öffnen, um einzudringen. Dies ist ein einschließendes
Oder, denn wenn sie beide Türen aufbekommen, ist das bestimmt kein Hindernis
für das Durchsuchen des Hauses — und falls Sie an der logischen Aufgabe mit den Türen
und Schlössern scheitern, können Sie immer noch mit Hilfe der vollständigen Induktion ein
Fenster im zweiten Stock einschlagen.
Es existieren vier einstellige Operatoren (wie ¬) und 16 mögliche binäre Operatoren (wie
∧ oder ∨).Über zwei dieser binären Operatoren wollen wir im Folgenden sprechen.
Beispiel 3.1.2 (XOR). Betrachten wir zunächst die Schaltwerttabelle
a b a ⊻ b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Diese zweistellige Operation heißt XOR (exklusives Oder, ausschließendes Oder). Sie entspricht
der Bedeutung von ”
oder“ in der Umgangssprache: Entweder a oder b sind eingeschaltet
— keinesfalls beide.
WICHTIG: In der Mathematik ist es unbedingt notwendig, das Ausschließende der XOR-
Operation zu betonen, wie etwa durch Einführen des Wortes ”
entweder“, um Verwechslungen
mit der OR-Operation zu vermeiden, die ja als einschließende Oder einen Einser in der letzten
Zeile der Schaltwerttabelle aufweist (vgl. auch Abschnitt 3.2.1).
Beispiel 3.1.3 (NAND). Interessanterweise gibt es eine Operation — übrigens sehr billig
mittels Transistoren herstellbar — die allein ausreicht, um alle anderen Operationen und
damit alle möglichen Schaltungen zu erzeugen. Diese binäre Operation hat die Schaltwerttabelle
a b a ∧ ¬ b
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
und trägt den Namen NAND (negated AND, also negiertes Und). Der Zusammenhang mit
den bereits definierten Operationen ist a ¬ ∧ b = ¬(a ∧ b), wie leicht aus den Schaltwertabellen
zu sehen ist.
Bemerkung 3.1.4. Wie können die bereits bekannten Grundoperationen mit Hilfe der
NAND Operation zusammensetzt werden?
(1) Es gilt ¬a = a ¬ ∧a, wie wir an Hand der Schaltwerttabelle leicht überprüfen können:
a a ∧ ¬ a ¬a
0 1 1
1 0 0