Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

86 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
Beweis.
(1) Es gilt f(e) = f(e ◦e) = f(e)f(e), daher e ′ f(e) = f(e) = f(e)f(e) und mit der
Kürzungsregel (in H) folgt die Aussage.
(2) Es gilt f(e) = f(a ◦ a −1 ) = f(a)f(a −1 ) und nach (1) e ′ = f(a)f(a −1 ). Analog
folgt e ′ = f(a −1 )f(a) und wegen der Eindeutigkeit der Inversen ist f(a −1 ) das
Inverse (in H) zu f(a), d.h. (f(a)) −1 = f(a −1 ).
□
5.3. Ringe
Um uns den Schmuckstücken“ der Mathematik zu nähern, kehren wir zurück zu unseren
”
Gruppoiden aus Beispiel 5.1.1. Einige dort betrachtete Mengen haben als doppeltes Beispiel
gedient. So etwaÆ,undÊaber auch die 2 × 2–Matrizen M 2 (Ê). Für alle diese Mengen
haben wir Summen und Produkte definiert. Alle diese Mengen sind also Gruppoide bezüglich
zweier Verknüpfungen.
Beispiel 5.3.1 (Distributivität). Wichtig an den oben erwähnten Mengen mit Gruppoid–
Strukturen bezüglich zweier Verknüpfungen ist die Eigenschaft, dass Ausmultiplizieren“ und
”
” Herausheben“ ( Ausklammern“) gültige Rechenregeln sind. Wir alle wissen ja, dass etwa
”
(3 + 4) · 5 = 3 · 5 + 4 · 5 gilt.
Von nun an werden wir Mengen betrachten, auf denen zwei Verknüpfungen definiert sind.
Wir schreiben die beiden Verknüpfungen + und ·, vereinbaren, dass · stärker bindet als +
( Punktrechnung vor Strichrechung“), und lassen, wie schon angekündigt, den Punkt weg,
”
wenn immer angebracht.
Definition 5.3.2 (Distributivgesetze). Sei H ein Gruppoid bezüglich zweier Verknüpfungen
+ und ·. Wir schreiben dann auch (H, +, ·) und sagen + erfüllt die beiden Distributivgesetze
bzgl. · falls gilt
(DG1)
(DG2)
∀a, b, c ∈ H : a(b + c) = ab + ac,
∀a, b, c ∈ H : (b + c)a = ba + ca.
Definition 5.3.3 (Halbring).
(i) Eine Menge H, die eine Halbgruppe (H, +) und eine Halbgruppe (H, ·) bildet, heißt
Halbring, falls die beiden Distributivgesetze von + bezüglich · erfüllt sind.
(ii) Ist (H, +) eine kommutative Halbgruppe, so sprechen wir von einem additiv kommutativen
Halbring, ist (H, ·) kommutativ, so nennen wir die Struktur einen multiplikativ
kommutativen Halbring. Sind beide Verknüpfungen kommutativ, so liegt
ein kommutativer Halbring vor.
Beispiel 5.3.4 (Halbringe).
(i) Die natürlichen Zahlen (Æ, +, ·) bilden einen kommutativen Halbring. Manche nennen
das sogar Dioid, da beide Halbgruppen (Æ, +) und (Æ, ·) sogar Monoide sind.
(ii) Auch (, +, ·) und (Ê, +, ·) besitzen eine Halbringstruktur. Dies folgt aus Beispiel
5.2.3 und der offensichtlichen Gültigkeit der Distributivgesetze.
(iii) Die interessante Frage ist: Ist M 2 (Ê) ebenfalls ein Halbring? Die Antwort ist ja, ein
additiv kommutativer Halbring. Das Nachrechnen der Distributivgesetze ist allerdings
ein bisschen mühsam, ergibt sich aber aus der Gültigkeit der Distributivgesetze
für die reellen Zahlen.
Das Nullelement der Operation + in einem Halbring bezeichnen wir mit 0 und das Einselement
von · mit 1, sofern sie existieren.