Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.3. RINGE 87
Beispiel 5.3.5. Einige unserer Beispielmengen besitzen aber noch mehr Struktur. So
ist zwar (Æ, +) keine Gruppe, sehr wohl sind aber (, +) und (Ê, +) kommutative Gruppen.
Auch (M 2 (Ê), +) ist eine abelsche Gruppe.
Dies führt uns unmittelbar zum nächsten Begriff.
Definition 5.3.6 (Ring). Sei (R, +, ·) ein Gruppoid bezüglich beider Verknüpfungen.
(i) (R, +, ·) heißt Ring, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(R1)
(R2)
(R, +, 0) ist abelsche Gruppe,
(R, ·) erfüllt das Assoziativgesetz,
(R3) (R, +, ·) erfüllt die Distributivgesetze von + bzgl. ·.
(ii) Ist zusätzlich (R, ·, 1) ein Monoid und gilt 0 ≠ 1, so sagen wir R ist ein Ring mit
Einselement und schreiben oft auch (R, +, ·, 0, 1).
(iii) Ist die Operation · kommutativ, so liegt ein kommutativer Ring vor.
(iv) Hat man beides, Kommutativität und Einselement, dann nennt man die entstehende
Struktur ganz einfach kommutativer Ring mit Einselement.
Obige Definition besagt also, dass ein Halbring (R, +, ·) ein Ring ist, falls zusätzlich (R1)
gilt, also (R, +) eine abelsche Gruppe ist.
Beispiel 5.3.7 (Ringe).
(i) Die ganzen Zahlen (, +, ·) und die reellen Zahlen (Ê, +, ·) sind kommutative Ringe
mit Einselement.
(ii) Die reellen 2 × 2–Matrizen bilden einen Ring mit Einselement, der aber nicht kommutativ
ist (vgl. Beispiel 5.2.11).
Einige Ringe haben wir jetzt identifiziert in unserer täglichen mathematischen Umgebung.
Nun spielen wir wieder die Stärken der Algebra aus und suchen nur an Hand der
geforderten Eigenschaften nach neuen Gesetzen, die in allen Ringen gelten.
Proposition 5.3.8 (Rechenregeln in Ringen). Ist (R, +, ·) ein Ring, so gelten die Rechenregeln
(1) ∀r ∈ R : r0 = 0r = 0,
(2) ∀r, s ∈ R : −(rs) = (−r)s = r(−s),
(3) ∀r, s ∈ R : rs = (−r)(−s).
(4) Besitzt R ein Einselement 1 ≠ 0, so gilt ∀r ∈ R : (−1)r = r(−1) = −r.
Beweis.
(1) Es gilt r0 = r(0+0) = r0+r0 und durch Addition von −(r0) auf beiden Seiten der
Gleichung folgt 0 = r0. Die zweite Gleichung folgt analog.
(2) Wir haben (−r)s+rs = ((−r)+r)s = 0s = 0 wegen (1). Aus der Eindeutigkeit des
Inversen folgt −(rs) = (−r)s. Analog finden wir r(−s)+rs = r((−s)+s) = r0 = 0
und damit −(rs) = r(−s).
(3) Mit Proposition 5.2.24 und zweimaliger Verwendung von (2) folgt rs = −(−(rs)) =
−((−r)s) = (−r)(−s).
(4) Es gilt 0 = 0r = (1 + (−1))r = 1r + (−1)r = r + (−1)r und damit −r = (−1)r
wegen der Eindeutigkeit der Inversen. Die zweite Gleichung zeigt man analog.
Genau wie für Gruppen können wir auch für Ringe Teilstrukturen definieren.
Definition 5.3.9 (Teilring). Eine Teilmenge S ⊆ R eines Ringes (R, +, ·) heißt Teilring
oder Unterring von R, falls (S, +, ·) mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring ist.
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