Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

106 L’Instabilité d’Accrétion-Ejection
excitées avec une fréquence imaginaire, alors, elles sont amplifiées ou amorties. La limite de
stabilité se trouve donc en ω = 0 soit :
κ 2 − 2πGΣk r + k 2 rc 2 s = 0 (7.3)
Cette équation n’a de solution réelle pour k r que si : κc s = πGΣ. Il existe donc des modes
instables si le critère de Toomre est satisfait :
Q = c sκ
πGΣ < 1 (7.4)
Lorsque ce critère est vérifié tous les modes ne sont pas forcément instables. En fait, seuls
ceux qui vérifient k r > k c sont instables, où dans la limite disque froid (c s → 0),
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
k c =
κ2
2πΣG
(7.5)
Lorsque le système est potentiellement instable et que les modes instables sont excités, alors,
la matière du disque se condense en anneaux circulaires. La source de cet effondrement est
l’autogravité du gaz.
L’étude de modes non-axisymétriques est très semblable. Elle montre néanmoins que ceuxci
sont toujours localement stables (Goldreich & Lynden-Bell 1965b, Julian & Toomre 1966).
Les instabilités locales ne permettent donc pas d’expliquer les structures spirales observées
dans les galaxies, qui par définition sont non-axisymétriques.
Analyse globale : modes non-axisymétriques
Heureusement, les modes non-axisymétriques sont sujets à des instabilités globales. De
manière générale, une perturbation non-axisymétrique s’écrit comme une somme d’ondes
spirales. L’équation de dispersion de telles ondes est la suivante :
(ω − mΩ) 2 = κ 2 − 2πGΣk + k 2 c 2 s (7.6)
où m est le nombre de bras de la spirale, k 2 = k 2 r + m 2 /r 2 et k r est le nombre d’onde radial.
Par rapport à la situation axisymétrique, la rotation différentielle joue un rôle majeur dans
cette situation.
La première différence est l’existence d’un rayon caractéristique pour lequel ω = mΩ. Le
disque étant en rotation différentielle, il existe en effet un rayon spécifique pour lequel le gaz
tourne à la même vitesse que la spirale. Ce point est appelé la corotation.
La deuxième différence vient de l’existence de deux points tournants où k r = 0 (au sens
WKB). Si on néglige l’auto-gravité et la pression, ces points se trouvent de part et d’autre
de la corotation, au niveau des résonances de Lindblad 1 définies par :
ω − mΩ(r) ≈ ±κ(r) (7.7)
Entre ces deux rayons, à fréquence ω fixée, aucun k réel ne peut vérifier l’équation de dispersion
: dans la région de corotation, les ondes sont amorties. Cette région constitue donc une
bande interdite sur laquelle sont réfléchies les ondes venant de l’extérieur (voir figure 7.2).
Cette bande interdite est très importante car c’est le moteur même des instabilités de
swing. Elle sépare le disque en deux domaines dans lesquels les ondes spirales peuvent se
propager : un domaine externe à la corotation qui ne nous intéresse pas outre mesure, et
surtout, une région interne. Si la condition au centre du disque est réfléchissante, alors, la
région interne constitue une cavité résonnante, au même titre que les cavités Laser. Dans le
1 L’expression générale se dérive facilement de l’équation de dispersion 7.6, mais est plus compliquée.