Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

154 Forme variationnelle cinétique
Ces différentes fonctions de distribution sont couplées par les différents ordres du développement
de l’équation de Vlasov. Supposons pour faire simple la population de particules dans
un champ électromagnétique donné. Supposons également que les autres forces regroupées
sous le terme ⃗ Γ 1 sont d’ordre supérieur (nous verrons plus loin que c’est bien la cas). Alors,
ce développement s’écrit formellement :
( )
⃗E + ⃗v × B ⃗ . ∂F 0
= 0 (9.65)
(
∂⃗v
∂
∂t + ⃗v.⃗ ∇ + ⃗ Γ 1 . ∂ )
F 0 + q ( )
⃗E + ⃗v × B ⃗ . ∂F 1
= 0 (9.66)
∂⃗v m
∂⃗v
( )
∂
∂t + ⃗v.⃗ ∇ + ⃗ ∂
Γ 1 F 1 + q ( )
⃗E + ⃗v × B ⃗ . ∂F 2
= 0 (9.67)
∂⃗v m
∂⃗v
... = 0 (9.68)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Si de plus la distribution de particules peut influencer la valeur des champs électrique et
magnétique et qu’on ferme le système par les équations de Maxwell, alors, il faut également
développer le champ électrique ⃗ E = ⃗ E 0 + ⃗ E 1 et le champ magnétique ⃗ B = ⃗ B 0 + ⃗ B 1 .
Ce système d’équations permet de déterminer de manière récursive l’ensemble des perturbations
de la fonction de distribution et donc de reconstruire une fonction totale avec une
précision en principe d’autant plus grande que l’ordre est élevé 5 .
• L’ordre 0 de ce développement traduit un milieu parfaitement constant dans le temps
et uniforme dans l’espace. Ainsi, les champs électrique et magnétique étant uniformes, le
mouvement de chaque particule est la composition du mouvement cyclotron et d’un mouvement
de dérive lié à la force électrique (par hypothèse, les dérives liées à d’autres forces sont
négligeables). Toutes les particules se déplacent avec la même vitesse de dérive constante :
⃗v d = ⃗ E × ⃗ B
B 2 (9.69)
On peut réécrire la condition d’ordre 0 sur F 0 de manière à faire apparaître la vitesse de
dérive :
(⃗v − ⃗v d ) × ⃗ B. ∂F 0
∂⃗v = 0 (9.70)
On voit que cette condition porte sur le mouvement cyclotron représenté ici par ⃗v ⊥ −⃗v d . Nous
en donnerons une interprétation dans quelques lignes.
Qu’en est il de l’application aux disques d’accrétion Dans le cas des disques d’accrétion,
cette vitesse de dérive est la vitesse de rotation autour de l’objet central. La présence de la
gravité est en effet associée à un champ électrique. Les deux sont indissociables, si bien qu’il
est difficile de donner une interprétation en terme de cause/conséquences. En raison de la
quasi-neutralité, ce champ électrique ne joue aucun rôle en MHD. En revanche, en cinétique,
il est formellement responsable du mouvement de dérive des particules. De manière globale,
ce champ électrique n’est pas uniforme. Cependant, à l’ordre 0 de ce développement, ses
variations spatiales sont négligées, et toutes les particules se déplacent uniformément à la
vitesse locale de rotation :
⃗v d ≈ rΩ K ⃗e θ (9.71)
• L’ordre 1 commence à prendre en compte les variations temporelles et spatiales à l’échelle
du mouvement cyclotron. A cet ordre, les gradients des diverses quantités peuvent commencer
à jouer un rôle. Afin de créer une forme variationnelle qui puisse, outre apporter des propriétés
5 En fait, il n’existe aucune garantie mathématique que cette série doive converger. Il s’agit d’un
développement asymptotique, en général divergeant, mais qui donne une très bonne approximation tant que
le paramètre supposé petit le reste effectivement.