Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

8.3 Pompage magnétique 129
Une force perturbée implique donc un décalage en vitesse de la fonction de distribution
d’équilibre. De manière générale, g dépend de la vitesse, la position et le temps. On voit en
particulier que dans le cas où g est simplement proportionnel au temps : g ∝ t, la fonction
de distribution se décale en vitesse avec le temps : toutes les particules sont simplement
accélérées.
8.3.3 Calcul simple de résonance d’une population de particules
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Repoussons encore un peu l’analyse de la couronne et de sa géométrie complexe. Pour
simplifier le calcul, intéressons nous plutôt à un cas à un seul degré de liberté sans aucune force
d’équilibre. Les particules se déplacent donc toutes selon le même axe x, avec une certaine
distribution en vitesse. On suppose le milieu uniforme, si bien que la fonction de distribution
d’équilibre des particules ne dépend que d’une seule variable, la vitesse : F 0 (v). En l’absence
de force, chaque particule individuelle possède sa vitesse et la conserve.
Excitons maintenant dans cette population de particules une onde de fréquence temporelle
ω e et de fréquence spatiale k. Cette onde se propage à la vitesse ω e /k et peut donc interagir
de manière cohérente avec les particules ayant justement cette vitesse. Il y a une interaction
résonante avec les particules de vitesse v = ω e /k. C’est ce qu’on cherche à caractériser ici. La
méthode employée ici est la même que pour le calcul classique de l’effet Landau, sauf qu’ici,
la rétroaction des particules sur la force excitatrice n’est pas prise en compte.
Mathématiquement, on perturbe donc la distribution d’équilibre avec la force sinusoïdale
de faible amplitude suivante :
γ = γ 0 cos (ω e t − kx + φ 0 ) (8.27)
Dans la mesure où la force est de faible amplitude, on peut chercher la fonction de distribution
correspondante par perturbation et développer F = F 0 + f.
L’équation de Vlasov linéarisée donne donc :
d t f = −∂ v F 0 γ 0 cos (ω e t − kx) (8.28)
où on a noté d t = ∂ t + v∂ x la dérivée totale le long de la trajectoire des particules.
Pour trouver la fonction de distribution perturbée, il faut donc intégrer cette équation le
long des trajectoires non perturbées. Dans ce cas simple, on peut faire cette intégration par
la méthode des caractéristiques ou bien par intégration dans le plan complexe. Cependant,
comme nous le verrons plus tard, dans les cas plus complexes, l’utilisation des transformées
de Laplace, du plan complexe et de manière générale du formalisme canonique de l’effet
Landau deviennent indispensables. Ici, en imposant f(t = 0) = 0, on trouve finalement assez
facilement que :
(
f = −∂ v F 0 γ 0 cos
kx − φ 0 − ω e + kv
t
2
) sin (ωe − kv)t/2
(ω e − kv)/2
(8.29)
Cette fonction de distribution contient toute l’information sur l’évolution du système résultant
de la petite perturbation sinusoïdale. Elle possède en particulier certaines propriétés remarquables.
Tout d’abord, elle conserve bien le nombre de particules. En effet, elle est périodique
et de moyenne nulle en x. Ensuite, on constate que s’il existe des particules résonantes,
vérifiant
ω e = kv (8.30)
alors, l’amplitude de la perturbation de la fonction de distribution croît linéairement avec le
temps :
f(v = ω e /k) = −γ 0 ∂ v F 0 | ωe/k t cos (ω et − kx + φ 0 ) (8.31)