Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

146 Forme variationnelle cinétique
Ce résultat est très important car il permet de définir le Lagrangien du système linéarisé
de manière simple. Avec cette densité de Lagrangien, le déplacement solution du système
vérifie l’équation d’Euler si bien que l’action est nulle au niveau de la solution en plus d’être
stationnaire.
Principe d’énergie
Une manière simple d’aborder la stabilité d’équilibres statiques est de décomposer le
déplacement Lagrangien en modes normaux :
⃗ξ = ⃗ˆξe −iωt
(9.28)
alors, l’action précédemment citée présentant en sus la particularité de s’annuler au niveau
des solutions, l’équation 9.27 prise pour les déplacements solution donne directement :
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
ω 2 = −
∫ ⃗ˆξ∗ . ⃗ F ( ⃗ˆξ)d 3 x
∫
ρ0 | ⃗ˆξ| 2 d 3 x
(9.29)
Autrement dit, ω 2 ∝ W 2 . Cette remarque mène directement au principe d’énergie qui
stipule qu’un système isolé en équilibre statique est stable si et seulement si
∫
W [ ⃗ ξ, ⃗ ξ ∗ ]d 3 x > 0 (9.30)
quel que soit le déplacement ⃗ ξ (Bernstein et al. 1958). Si par contre un seul déplacement est
trouvé qui permette à l’énergie potentielle totale d’être négative, alors il existe des modes
instables. C’est une technique très puissante pour déterminer numériquement la stabilité d’un
système à l’aide de fonctions d’essai ; elle est très utilisée pour la physique de la fusion et des
tokamaks dans lesquels les instabilités empêchent le confinement sur des échelles de temps
très courtes et où un grand enjeu est donc la recherche de configurations stables. A moins de
connaître exactement les déplacement solutions ⃗ ξ, cette technique ne permet cependant pas
de déterminer avec précision le taux de croissance des instabilités.
Equilibre dynamique
Le cas d’équilibres dynamiques, c’est-à-dire avec une vitesse d’équilibre non nulle (⃗v 0 ≠ ⃗0)
est plus complexe. Cependant, leur étude s’avère indispensable lorsqu’il s’agit de disques
d’accrétion en rotation. Dans ce cas, on peut montrer que les forces additionnelles d’entraînement
liées à la vitesse d’équilibre sont auto-adjoints aussi et que la densité de Lagrangien
peut s’écrire (Frieman & Rotenberg 1960) :
L 2 = ξ ⃗∗ .
[ρ 0 ∂t 2 2⃗ ξ + 2ρ 0 (⃗v 0 . ∇)(∂ ⃗ (
tξ) ⃗ − ∇. ⃗ ρ 0ξ(⃗v0 ⃗ . ∇)⃗v ⃗ 0 − ρ 0 ⃗v 0 (⃗v 0 . ∇) ⃗ ξ ⃗ )
− F ⃗ 1 ( ξ) ⃗ ]
(9.31)
Cette équation est très semblable à l’équation 9.27, avec des termes d’entraînement en plus.
Encore une fois, il s’agit du produit de ⃗ ξ ∗ avec l’équation d’Euler linéarisée.
Un principe d’énergie existe également pour les équilibres dynamiques, mais moins pratique
d’utilisation que celui des équilibre statiques (Frieman & Rotenberg 1960). En particulier,
aucune condition nécessaire et suffisante ne peut être obtenue pour déterminer la
stabilité comme pour le cas statique.