Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

B.3 Ordre 1 : solution compressible 173
L’équation de vorticité au premier ordre donne :
(⃗v 0 . ⃗ ∇)ω 0 = 0
(B.12)
Donc, en supposant que la vorticité est nulle loin en amont de l’obstacle, on trouve que ω 0 = 0
partout dans le flot, c’est à dire :
∇ 2 Ψ = 0
(B.13)
En imposant que la vitesse normale s’annule à la surface du cylindre et qu’elle tend vers v c ⃗e x
à l’infini, on trouve que :
(
Ψ = sin θ r − 1 )
(B.14)
r
vr 0 = cos θ
(1 − 1 )
r 2 (B.15)
vθ 0 = − sin θ
(1 + 1 )
r 2 (B.16)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
La figure 3.3 représente cette solution où les lignes de flot s’écartent gentiment autour de
l’obstacle, sans se comprimer. Cette solution est purement incompressible et la viscosité de
compression ne dissipe aucune énergie. Cependant, cette solution n’est qu’une approximation.
En particulier, on peut montrer que loin de l’objet, quelle que soit la valeur du paramètre ɛ,
il existe une distance au delà de laquelle le terme d’advection ne peut plus être négligé. En
pratique, cela signifie simplement que les termes d’ordre suivant que l’on a négligés deviennent
significatifs.
B.3 Ordre 1 : solution compressible
De par sa nature, si l’on pousse le développement jusqu’à l’ordre 1, on commence à voir
apparaître des termes de compression. De même que précédemment, on peut intégrer une fois
l’équation d’Euler et à cet ordre, le système s’écrit :
(⃗v 0 . ⃗ ∇)ρ 1 + R 0 Bρ 1 = ɛR0 B
2 (1 − v2 0) (B.17)
(⃗v 0 . ⃗ ∇)ρ 1 = − ⃗ ∇.⃗v 1 (B.18)
Contrairement à l’ordre 0, le terme source dans l’équation d’Euler n’est pas constant et
s’annule loin de l’objet. On peut donc trouver une solution physiquement acceptable. Cette
intégration peut en principe se faire facilement pour trouver la densité perturbée. En pratique,
il faut intégrer le long des lignes de flot d’ordre 0 et la nature bi-dimensionnelle du problème
complique un peu les choses. Quand on n’est pas dans un cas limite (R B > 1),
il est plus simple d’effectuer l’intégration numériquement. La figure B.1 donne la densité
perturbée ρ 1 pour différents régimes de viscosité. Cette solution étant compressible par nature,
elle est inévitablement sujette à de la dissipation par viscosité. Celle-ci n’agissant que sur la
divergence de la vitesse, il suffit de la déduire par la relation B.18 de la densité perturbée.
La figure B.2 donne le contour de divergence. La dissipation locale est simplement le carré
de cette quantité.
De même qu’à l’ordre précédent, la vitesse perturbée ⃗v 1 peut être déterminée grâce à
l’équation de vorticité :
(⃗v 0 . ∇)ω ⃗ 0 =
ν
∣∇( ⃗ ∇.⃗v ⃗ 1 ) × ∇ρ ⃗ ∣ ∣∣
1 (B.19)
ɛR 0 B