Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.3 Application aux disques 147
Forme générale
Le résultat très important est que de manière générale, la stabilité de l’équilibre d’un
système isolé peut être étudiée par l’écriture de la forme variationnelle obtenue en faisant le
produit du déplacement lagrangien avec l’équation d’Euler linéarisée :
A =
∫ t 2
∫
⃗ξ ∗ . −−−→ Euler 1 ( ⃗ ξ) d 3 xdt (9.32)
t 1
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Il existe d’innombrables façons d’exprimer l’énergie potentielle et l’énergie cinétique dépendant
de la manière dont on regroupe les termes ou au contraire dont on les élimine grâce aux relation
d’ordre 0. Je préfère donc ne pas en donner ici, mais nous en verrons quelques exemples
un peu plus tard.
D’autre part, cette action n’est pas unique. Beaucoup d’autres peuvent être dérivées,
exprimées en fonction d’autres variables. La plupart peuvent cependant être déduites de
celle-ci par des transformations plus ou moins lourdes.
9.2.3 Systèmes non isolés
La forme variationnelle 9.32 n’est valide que pour des conditions aux limites rigides. Si
par contre, on s’intéresse à un système non isolé avec des conditions au limites différentes,
les intégrations par partie que nous avons menées à plusieurs reprises donnent des termes de
surface non nuls, impliquant que le Lagrangien utilisé ne représente pas le système. Il faut
donc dans ce cas en définir un autre.
Si ces conditions sont bien justifiées dans le cas de plasmas de laboratoires confinés par
une paroi rigide, elles le sont beaucoup moins pour l’étude des disques d’accrétion. Pour le
bord interne du disque, nous avons vu que cette condition pouvait effectivement être vérifiée,
mais il en va différemment des conditions au-dessus du disque et au bord externe, où des flux
d’énergie et de moment angulaire sont incompatibles avec des telles conditions aux limites.
La forme 9.32 ne représente donc a priori pas la physique des disques.
Cependant, on peut souvent en première approximation considérer que les flux d’énergie
aux frontières sont faibles devant les énergies et les temps caractéristiques mis en jeu dans
la physique des disques. Dans cette limite, les résultats obtenus pour un système isolé sont
donc applicables.
9.3 Application aux disques
Nous venons donc de présenter la construction d’un Lagrangien pour un système pseudoisolé
à l’équilibre. Le résultat est résumé dans la relation 9.32. Nous allons maintenant tenter
d’appliquer ce Lagrangien à deux cas de disques d’accrétion et comparer les résultats aux
précédentes études. Pour ces deux cas, nous considérons un disque infiniment mince, dans
le vide, traversé par une champ magnétique purement vertical. Dans le premier modèle, le
disque est supposé dans le vide ; dans le deuxième, il est supposé entouré d’une couronne
peu dense. Ces conditions correspondent à celles utilisées dans les différentes descriptions de
l’AEI (Tagger et al. 1990, Tagger & Pellat 1999, Varnière & Tagger 2002).
9.3.1 Disque sans couronne
Intéressons nous dans un premier temps au problème étudié dans Tagger & Pellat (1999),
c’est-à-dire celui d’un disque dans le vide. Supposons que les courants ne jouent pas de rôle
dans le système à l’équilibre ⃗ J 0 = ⃗0.