Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.5 Approche dérive-cinétique 157
selon l’axe du disque d’accrétion :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
t = τ
⃗x = ⃗x ′
⃗v ⊥ = ⃗v d + √ 2µ ⃗e φ
v ‖ = v ′ ‖
Ce changement de variables fait apparaître les dérivées suivantes :
⎧
∂ t = ∂ τ
⎪⎨ ⃗∇ = ∇ ⃗ ′ − ⃗ ]
∇ ′ (⃗v d ) . ⃗w ⊥
[∂ µ − ×⃗n
2µ ∂ φ
∂ v‖ = ∂ v ′
‖
]
⎪⎩
∂ ⃗v⊥ = ⃗w ⊥
[∂ µ − ×⃗n
2µ ∂ φ
(9.79)
(9.80)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
où ⃗w ⊥ = ⃗v ⊥ − ⃗v d = √ 2µ⃗e φ est la vitesse du mouvement cyclotron et ⃗n est la direction
verticale. On remarque dans l’expression du gradient l’apparition d’un terme en ∇⃗v ⃗ d qui est
habituellement négligé, mais qui ici joue un rôle important. Sauf mention contraire, dans la
suite, nous travaillerons avec ce jeu de variables. Les ’ seront donc omis, et la variable de
temps sera noté t, sans risque de confusion avec les variables de départ.
Après changement de variables, l’équation de Vlasov se réécrit sous la forme suivante 7 :
[∂ t + V ⃗ . ∇ ⃗ ]
+ G ‖ ∂ v‖
Ω ‖ ∂ φ F =
F
[ (
+ ⃗w ⊥ . ⃗∇ + ⃗G − (⃗vd . ∇)⃗v ⃗ ) (
d ∂ µ + ×⃗n ) ]
2µ ∂ φ + Ω ⃗ × ⃗n∂ v‖ F (9.81)
[ (
− ⃗w ⊥ . ⃗∇(⃗v d ) ∂ µ + ×⃗n ) ]
2µ ∂ φ F . ⃗w ⊥
Les termes ont ici été regroupés de manière à faire explicitement apparaître les dépendance
en φ des opérateurs appliqués à F . L’opérateur de première ligne est indépendant de φ. Il
s’agit de la dérivée totale, le long des trajectoires des centres guides dans l’espace des phases :
D t F =
[∂ τ + V ⃗ . ∇ ⃗ ]
′ + G ‖ ∂ v‖ F (9.82)
Les termes des deuxième et troisième lignes dépendent de la phase du mouvement cyclotron
par ⃗w ⊥ , respectivement comme sin φ et sin 2φ.
Il faut maintenant développer cette équation dans les deux limites : les variations lentes
et les faibles perturbations. Afin d’éviter les ambiguïtés entre ces deux développements, nous
utiliserons la différence majuscules/minuscules pour repérer l’état d’équilibre et les perturbations
; et les indices 0 et 1 pour représenter les deux premiers ordres du développement
drift-cinétique.
L’équilibre
• Ordre 0 :
A l’ordre 0 du développement, la force ⃗ Γ 0 se résume à la force électrostatique, responsable
de la dérive, si bien que par construction :
⃗G 0 ⊥ = ⃗ Γ 0 ⊥ + ⃗v d × Ω = 0 (9.83)
7 On peut remarquer deux termes étranges au premier abord : un où apparaît Ω ‖ et un autre en ⃗ Ω×⃗n. Tous
deux dépendent directement du champ magnétique. A priori, le premier donne Ω et le second s’annule. Ces
résultats en sont vrai que lorsque le champ magnétique est purement vertical. C’est bien sûr le cas de l’équilibre
du disque. Cependant, lorsqu’on le perturbe, la direction du champ change et n’est plus parfaitement verticale.
Cette formulation est en fait une anticipation pour simplifier l’appréhension de la perturbation.