Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

Chapitre 9
Forme variationnelle cinétique
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Sommaire
9.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.1 L’analyse linéaire des instabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.2 Lagrangien et Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 Formes variationnelles fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2.1 Lagrangien d’un système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2.2 Stabilité d’un système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2.3 Systèmes non isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 Application aux disques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3.1 Disque sans couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3.2 Disque avec couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4 Forme variationnelle cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4.1 Variables variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4.2 Réécriture de la forme fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.4.3 Forme cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.5 Approche dérive-cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5.1 Développement drift-cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5.2 Application aux disques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.5.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Ce chapitre, un peu mathématique, est dédié à l’étude d’un outil extrêmement puissant
d’analyse des instabilités : les formes variationnelles. Dans une première section, je situe
brièvement cette méthode dans le contexte des instabilités (sec. 9.1). Je présente ensuite le
principe des formes variationnelles MHD (sec. 9.2) ainsi que deux premières applications aux
disques d’accrétion (sec. 9.3). Enfin, je pose les premiers jalons de la dérivation d’une forme
équivalente en formalisme cinétique (sec. 9.4 et 9.5).
9.1 Principe
9.1.1 L’analyse linéaire des instabilités
L’étude des instabilités est primordiale en astrophysique. La question de la stabilité d’un
système se pose dès qu’un équilibre est trouvé : si de petites fluctuations, inévitables dans
des situations réelles, écartent légèrement le système de la position d’équilibre, va t-il revenir