Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.3 Application aux disques 149
où ⃗e z est le vecteur unitaire vertical. Réécrit en terme de ces variables, le Lagrangien défini
précédemment (eq. 9.32) donne :
∫
B (⃗∇⊥ 0
2π L = − Φ ∗ + ⃗e z × ∇ ⃗ ⊥ Ψ ∗) . −−−→ Euler 1 (Φ, Ψ)rdrdz (9.37)
Après une intégration par partie, on trouve qu’il s’écrit également :
∫
B 0
2π L = (Φ ∗ D(Φ, Ψ) + Ψ ∗ R(Φ, Ψ)) rdrdz (9.38)
où D et R sont la divergence et le rotationnel de l’équation d’Euler :
D = ∇ ⃗ ⊥ . −−−→ Euler 1 (9.39)
(
R = ⃗e z . ⃗∇⊥ × −−−→ )
Euler 1 (9.40)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
La forme variationnelle correspondant au problème physique est finalement :
∫
rdrdz
{− ˜ω2 (
| ∇ ⃗ ⊥ Φ| 2 + | ∇ ⃗ ⊥ Ψ| 2) + 2 m ( ) ˜ωΩ
r ∂ r |Φ| 2 + 2 m ( ) Ω
r ˜ω∂ r
va 2 |Ψ| 2
v 2 a
+ 2r ΩΩ′
va
2 |∂ r Φ| 2 + ( Φ ∗ ∇ 2 ⊥ ∇2 ⊥ Φ + Ψ∗ ∇ 2 ⊥ ∂ z 2Ψ)
( )
im ˜ω
2
+
r ∂ r
va
2 (Ψ ∗ Φ − Φ ∗ Ψ) + 2 im rΩΩ
r va
2 (Ψ ∗ ∂ r Φ − Ψ∂ r Φ ∗ )
+ 2i ˜ωΩ (
⃗∇⊥ Φ ∗ . ∇ ⃗ ⊥ Ψ − ∇ ⃗ ⊥ Ψ ∗ . ∇ ⃗ ⊥ Φ) }
∫
v 2 a
dz
[r ˜ω2
v 2 a
(
)
Φ ∗ ∇⊥ ⃗ Φ + Ψ ∗ ∇⊥ ⃗ Ψ + 2ir ˜ωΩ
(
)
Ψ ∗ ∇⊥ ⃗ Φ − Φ ∗ ∇⊥ ⃗ Ψ
+
va
2 va
2
+ 2 im r 2 ΩΩ ′
]
r va
2 Φ ∗ Ψ − 2r 2 ΩΩ′
r2
va
2 Φ ∗ ∂ r Φ
r 1
= 0 (9.41)
Cette forme présente certaines différences par rapport à celle de l’article de Varnière & Tagger
(2002). Pour comparaison, les deux densités de Lagrangien sont les suivante :
L Euler = Φ ∗ D(Φ, Ψ) + Ψ ∗ R(Φ, Ψ) (9.42)
L Varniere2002 = Φ ∗ D(Φ, Ψ) − ΨR ∗ (Φ, Ψ) (9.43)
La différence est donc subtile. Finalement, cette nouvelle forme change le signe et la conjugaison
de certains termes obtenus dans Varnière & Tagger (2002) mais surtout, la forme
dérivée ici fait apparaître nouveaux 3 termes : ceux des lignes 3 et 4. Ce sont bien des termes
Hermitiques. Ils conservent donc bien les propriétés énergétiques du système.
L’article n’utilise pas le caractère variationnel de la forme quadratique qui y est présentée.
Les résultats obtenus, en particulier, le calcul du taux de croissance, ne sont donc pas remis
en cause. Du point de vu de la problématique de l’article, il est cependant équivalent de travailler
avec l’une ou l’autre forme : les même résultats sont obtenus avec la forme dérivée dans
ce chapitre. En effet, seuls y sont étudiées les termes en |ψ| 2 qui participent à la résonance
de corotation, et les termes possédant des dérivées verticales qui participent au flux vertical
d’énergie. Or, les changements de signe et de conjugaison différentiant les deux formes
ne concernent pas ces termes ; et les termes additionnels obtenus ici ne participent ni à la
corotation, ni au flux vertical.