Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.1 Principe 141
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
une méthode extrêmement utilisée pour comprendre l’origine des structures observées.
On peut distinguer deux types d’instabilités linéaires différentes : les instabilités linéaire
dites locales et celle dites globales 1 . Les premières correspondent à des instabilités qui se
développent en un lieu donné en fonction des valeurs locales (et éventuellement de leurs
dérivées), indépendamment des conditions aux limites. Les instabilités de Parker, de Kelvin-
Helmotz, de Rayleigh-Taylor et la MRI sont par exemple des instabilités locales. Les deuxièmes
au contraire dépendent essentiellement des variations à grande échelle des quantités d’équilibre
et des conditions aux limites. Les instabilités spirales de swing et l’AEI sont des instabilités
globales : elles dépendent de la structure à grande échelle des différentes quantités, et en
particulier des conditions aux limites pour la formation de la cavité interne.
Les instabilités locales sont le plus souvent étudiées directement à partir des équations
différentielles dans une approche WKB. La même analyse pour les modes globaux est par
contre beaucoup plus complexe et d’autres méthodes sont souvent employées. Parmi les
méthodes d’analyse linéaire des instabilités globales, l’écriture de formes variationnelles est un
outil extrêmement puissant. Elle est bien sûr équivalente à résoudre les équations différentielles
linéarisées, mais son écriture très formelle est beaucoup plus simple et générale. Elle permet
des comparaisons évidentes entres des problèmes en apparence différents. Et surtout, elle
permet, pour un géométrie donnée de placer sur un même niveau toutes le conditions d’instabilités,
de pouvoir les interpréter et les comparer très facilement. Enfin, lorsque les problèmes
deviennent intrinsèquement très complexes, les formes variationnelles permettent également
d’employer des moyens d’approximation très efficaces. Du point de vue numérique notamment,
elles permettent, par l’utilisation de fonctions-test, de pouvoir perturber très facilement
un système par avec effets additionnels de faible amplitude.
L’Instabilité d’Accrétion-Ejection dont nous avons déjà parlé abondamment dans le chapitre
7 a été étudiée avec cette approche dans la littérature. Afin de pouvoir comparer le
pompage magnétique aux autres effets, nous avons donc entrepris de le décrire également au
travers d’un formulation variationnelle. Le pompage magnétique étant un effet cinétique, la
forme variationnelle permettant de le décrire doit être cinétique elle aussi. Si les formes variationnelles
fluides sont parfois utilisées en astrophysique, il semble que leur version cinétique
n’ai pas encore été utilisée. Au travers de cet exemple lié à l’AEI, nous présentons donc dans
ce chapitre un moyen de dériver une forme variationnelle cinétique générale qui peut être
utilisée dans d’autres problèmes astrophysiques.
9.1.2 Lagrangien et Action
Le principe des formes variationnelles repose sur deux concepts fondamentaux : le Lagrangien
et l’action d’un système.
Dans beaucoup de problèmes physiques, le système se comporte de manière à extrêmiser
une certaine quantité. La trajectoire des rayons lumineux suit par exemple le trajet le plus
court. De manière similaire, la distribution de courant dans un système de résistances en
parallèles s’effectue de manière à minimiser la puissance dissipée. En fait, de manière tout
à fait générale, toute situation physique peut être définie comme extrêmalisant une certaine
quantité. Du point de vue mathématique, elle extrêmalise une fonction A, caractéristique du
système, intégrée sur tous les paramètres dont il peut dépendre :
∫
A =
L( ⃗ φ, ∂ ⃗x
⃗ φ, ⃗x)d⃗x (9.1)
1 Les termes sont ici ambigus : il ne faut pas confondre l’étude locale ou linéaire des instabilités qui consiste
à linéariser en tout point de l’espace les équations autour des valeurs d’équilibre, et les instabilités dites
locales/globales ainsi nommée par leur comportement spatial.