Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

158 Forme variationnelle cinétique
Toutes les dérivées sont de plus négligées et l’équation de Vlasov se réduit très simplement
à :
∂
∂φ F 0 = 0 (9.84)
Ainsi F 0 ne dépend pas de la phase du mouvement cyclotron. On dit que F 0 est gyrotrope.
C’est l’interprétation de l’équation 9.70 obtenue en variables (x,v). Finalement la fonction
F 0 est donc uniquement fonction de la vitesse parallèle v ‖ et du moment magnétique µ.
• Ordre 1 :
C’est à l’ordre 1 que commence à apparaître la physique intéressante. Le choix d’un équilibre
laisse une certaine liberté de manoeuvre. En correspondance avec les modèles fluides, on
impose un équilibre stationnaire de symétrie cylindrique :
0 = ∂ t F 0 = ∂ θ F 0 = ∂ φ F 0 (9.85)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
On impose également une vitesse purement képlérienne. On peut donc considérer que la force
⃗ Γ1 qui regroupe les forces non électromagnétiques ne représente ici que la gravité et qu’elle
vérifie en particulier :
⃗ Γ1⊥ = (⃗v d . ⃗ ∇)⃗v d (9.86)
A l’ordre 1, on trouve donc l’équation de Vlasov suivante :
Ω 0 ∂ φ F 1 = D t F 0 + ⃗w ⊥ . ⃗ ∇F 0 − ⃗w ⊥ . ⃗ ∇(⃗v d ). ⃗w ⊥ ∂ µ F 0 (9.87)
F 0 ne dépendant pas de la phase φ, cette équation contient des termes gyrotropes (regroupés
dans D t F 0 ) et des termes non gyrotropes qui peuvent être étudiés séparément. D’un côté,
l’équation sur la partie gyrotrope donne une condition sur la distribution d’ordre 0 :
D t F 0 =
(∂ τ + (⃗v D + v ‖ ⃗n). ⃗ ∇ + Γ 1‖ ∂ v‖
)
F 0 = 0 (9.88)
A cet ordre, les gradients commencent à être pris en compte : F 0 peut varier dans le temps et
dans l’espace. Cette condition lui impose cependant d’être constante le long des trajectoires
des centres guides. Avec les conditions imposées pour l’équilibre, cette relation se réduit en
fait simplement à une équation gouvernant la structure verticale :
(v ‖ ∂ ‖ + Γ 1 ‖ ∂ v ‖
)
F 0 = 0 (9.89)
De l’autre côté, la partie non gyroptrope de l’équation peut être intégrée sur le mouvement
cyclotron. On trouve alors la fonction d’ordre 1 dans le développement gyrocinétique :
∫
Ω c F 1 = Ω c [F 1 ] + ⃗w ⊥ .⃗n × ∇F ⃗ 0 − dφ ⃗w ⊥ . ∇ ⃗ ′ (⃗v D ). ⃗w ⊥ ∂ µ F 0 (9.90)
Contrairement à F 0 , F 1 n’est pas gyrotrope et possède des termes en sin φ et des termes
en sin 2φ (respectivement les deuxième et troisième termes). F 1 possède a priori aussi une
composante constante [F 1 ], mais celle-ci correspond à une constante de l’intégration qui vient
d’être effectuée sur la phase du mouvement cyclotron. Elle ne peut donc pas être déterminée
avec cette équation. De même que le comportement de F 0 vient d’être déterminé à l’ordre 1
du développement, le comportement de la partie constante de F 1 sera déterminé à l’ordre 2.
Mais, dans la pratique, ce terme ne nous intéresse pas et seule la partie dépendant de φ nous
sera utile. Il est donc inutile d’aller à l’ordre suivant.