Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

A.2 Viscosité des gaz non magnétisés 167
où
η 0 = .96nk B T τ
(A.12)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Pour écrire la force et faire apparaître la force visqueuse sous la forme qu’on lui connaît
habituellement dans l’équation de Navier-Stockes, nous avons supposé que le coefficient η 0
était constant. Le premier terme de cette force correspond aux termes hors-diagonal du
tenseur, c’est-à-dire à une force résultant du cisaillement du flot et s’y opposant. C’est le terme
le plus important dans la plupart des situations physiques. Le deuxième terme correspond
aux termes diagonaux du tenseur. C’est une force due à une compression du fluide. Les
écoulements classiques sont très fréquemment incompressibles ou faiblement compressibles,
si bien que cette viscosité de compression est le plus souvent négligée devant la viscosité de
cisaillement.
La relation A.11 détermine la manière dont la viscosité peut agir. La relation A.12 précise
son intensité. Celle-ci dépend de la nature exacte des collisions par le temps de collision. Aux
autres grandeurs thermodynamiques fixées et tant que le temps de collision ne dépend pas
de la température comme τ ∝ T −1 , la viscosité augmente avec la température. Dans ce cas,
c’est l’effet spatial qui l’emporte dans la relation A.7 : moins il y a de collisions, plus le milieu
est visqueux. Ce résultat est surprenant car il est contraire aux propriétés des fluides usuels
comme l’eau dont la viscosité diminue beaucoup avec la température.
Or, nous allons voir qu’effectivement, dans tous les cas qui peuvent nous intéresser, τ croît
avec la température. De manière générale, le temps de collision est défini comme le temps
nécessaire à modifier significativement l’impulsion d’une particule. Il est relié à la section
efficace d’interaction σ v par la relation :
∫
τ −1 = n
f(v)σ v vdv
(A.13)
où n est la densité des particules avec qui celle considérée peut interagir et f(v) la fonction
de distribution en vitesse. Regardons maintenant deux situations intéressantes : celui d’un
gaz neutre et celui d’un plasma.
A.2.1
Gaz neutre
Dans le cas d’un gaz parfait : atomique et neutre, les interactions consistent en des collisions
de type sphères dures. Chaque choc entre particule est alors une collision, quelle que
soit la vitesse des particules. La section efficace est donc indépendante de la vitesse et le
temps de collision est exactement le temps entre deux chocs, temps qui se déduit facilement
de la densité numérique du milieu et de la vitesse thermique des particules qui y circulent :
τ parfait ∝ (nv th ) −1 ∝ n −1 T −1/2
(A.14)
La viscosité d’un gaz parfait est donc simplement :
η parfait ∝ T 1/2
(A.15)
le facteur de proportionnalité est uniquement fonction des constantes universelles et la viscosité
ne dépend que de la température. On voit que même pour un gaz parfait, la notion
de viscosité surprend le sens commun. Contrairement au fluides moléculaires dont les interactions
sont beaucoup plus complexes (Wan der Walls...), un gaz parfait est d’autant plus
visqueux que sa température est élevée.