Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.5 Approche dérive-cinétique 159
La perturbation
• Ordre 0 :
Après quelques calculs, on obtient l’équation suivante pour la fonction de distribution perturbée
à l’ordre 0 du développement gyrocinétique :
)
Ω 0 c∂ φ f 0 = g‖ 0 ∂ v ‖
F 0 + ⃗w ⊥ .
(⃗g 0 ∂ µ + ⃗ω 0 × ⃗n∂ v‖ F 0 (9.91)
où ⃗g 0 = q m ⃗e0 + ⃗ V × ω 0 est la perturbation du terme de force ⃗ G, et ⃗e 0 et ⃗ω 0 = q m ⃗ b 0 sont les
perturbations respectives du champ électrique et du champ magnétique.
On constate immédiatement que, contrairement à la fonction de distribution d’équilibre
F 0 , la fonction de distribution perturbée f 0 n’est pas gyrotrope. La perturbation des champs
électrique et magnétique engendre une dépendance par rapport à la phase du mouvement
cyclotron. De même que pour l’équilibre, les composantes gyroptropes et non gyrotropes de
cette équation peuvent être étudiées indépendamment.
D’un côté, en moyennant l’équation 9.91 sur le mouvement cyclotron, on obtient la condition
suivante sur les champs perturbés :
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
g 0 ‖ = q m ⃗e0 ‖ + (⃗v d × ⃗ω 0 ).⃗n = 0 (9.92)
Cette condition traduit le fait qu’il ne peut y avoir de force électrique ou magnétique parallèle
au champ magnétique à l’ordre 0 du développement gyrocinétique. En effet, toute force de
ce type entraîne un mouvement rapide des électrons qui viennent immédiatement l’annuler.
Cette condition, implicitement supposée pour l’équilibre apparaît ici nettement.
De l’autre côté, l’intégration des termes non gyrotropes sur la phase φ donne une première
caractérisation de la fonction de distribution d’ordre 0 :
)
Ω 0 f 0 = Ω 0 [f 0 ] + ⃗w ⊥ .⃗n ×
(⃗g 0 ∂ µ + ⃗ω 0 × ⃗n∂ v‖ F 0 (9.93)
Le terme [ f 0] , est ici la constante d’intégration. De même que précédemment, ce terme est
indépendant de la phase du mouvement cyclotron et ne peut être déterminé à cet ordre du
développement.
• Ordre 1 :
Cependant, comme nous l’avons dit précédemment, l’ordre 0 du développement ne suffit pas
à capturer la physique liée aux gradients des différentes quantités. Il faut donc pousser le
développement encore un peu et écrire les équations à l’ordre suivant. L’équation sur f 1
commence à devenir compliquée :
Ω 0 ∂ φ f 1 = −ω 0 ‖ ∂ φF 1 + ⃗w ⊥ . ⃗ ∇ ′ f 0
+D t f 0 + g‖ 1 ∂ v ‖
F 0
]
+ ⃗w ⊥ .
[⃗g 1 .∂ µ + ⃗ω 1 × ⃗n∂ v‖ F 0
]
+ ⃗w ⊥ .
[⃗g 0 .∂ µ + ⃗ω 0 × ⃗n∂ v‖ F 1
[ (
− ⃗w ⊥ . ⃗∇(⃗v d ) ∂ µ + ×⃗n ) ]
2µ ∂ φ f 0 . ⃗w ⊥ (9.94)
Encore une fois, on peut séparer les composantes gyrotropes de celles qui ne le sont pas.
D’un côté, la moyenne de cette équation donne un contrainte sur f 0 ; et après un peu de
calcul, on peut exprimer la fonction de distribution perturbée à l’ordre 0 du développement
drif-cinétique sous la forme suivante :
f 0 =
¯ [f 0 ] − 1 Ω 0 ω0 ‖ µ∂ µF 0 + ⃗w ⊥ .
( ⃗n × ⃗g
0
Ω 0
∂ µ + ⃗ω0
Ω 0 ∂ v ‖
)
F 0 (9.95)