Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

Annexe E
Calcul des résonances
Dans cette annexe, on cherche à calculer la puissance que l’AEI peut fournir à la couronne.
On part de l’équation 8.41 qui donne la fonction de distribution perturbée :
∂ t f + Ω K ∂ θ f + ω B ∂ χ f = − (∂ θ h∂ L F 0 + ∂ χ h∂ J F 0 )
(E.1)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Comme il a été vu dans le corps du texte, la puissance fournie à la couronne se calcule par
l’intégration dans l’espace des phases suivante :
∫
P = fvγdvdx
(E.2)
où
Exprimée en terme de variables angle action, cette dernière expression s’écrit :
∫
P = − (ω B ∂ χ h + Ω K ∂ θ h) f dJdχdLdθdµ (E.3)
h = µB
(E.4)
est la perturbation du Hamiltonien. On suppose que la perturbation s’effectue par une onde
spirale unique sous la forme :
h = h χ (χ) cos (ω e t − m e Ω K )
(E.5)
Contrairement à la solution à un degré de liberté présenté en section 8.3.3, l’intégration de
l’équation de Vlasov linéarisée afin d’obtenir la fonction de distribution perturbée est compliquée
par la méthode des caractéristiques et il est plus simple de travailler dans les espaces
réciproques, avec des transformées de Laplace et des séries de Fourier. Plus précisément, on
écrit toutes les quantités sous la forme :
X(t, χ, θ) = ∑ ∫
dω ˆX nm e −i(ωt−mθ−nχ)
(E.6)
nm
En particulier, la perturbation du Hamiltonien s’écrit :
∫
h =
dω ∑ nm
ih n
2
( δ(m − me )
+ δ(m + m )
e)
e −i(ωt−mΩ K−nω B )
ω − ω e ω + ω e
(E.7)
où δ est le symbole de Kronecker. Dans l’espace réciproque, l’équation de Vlasov s’écrit donc :
−i (ω − mΩ K − nω B ) ˆf nm = −i (n∂ J F 0 + m∂ L F 0 ) ĥnm
(E.8)