Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.2 Formes variationnelles fluides 145
Une propriété fondamentale de cet opérateur, lorsque ⃗ ξ s’annule aux frontières du domaine
d’intégration, est d’être auto-adjoint 3 . En termes mathématiques, cela signifie que pour
toutes fonctions ⃗η et ⃗ ξ, il vérifie la relation suivante :
〉 〈 〉 ∗ 〈⃗η| ¯F | ξ ⃗ = ⃗ξ| ¯F |⃗η (9.19)
〈
où ⃗η| ξ ⃗ 〉
= ∫ ⃗η ∗ . ξd ⃗ 3 x est le produit scalaire défini dans l’espace des fonctions. En termes
physiques, cette propriété traduit la conservation de l’énergie du système.
La démonstration de cette propriété est extrêmement longue et sans vraiment d’autre
intérêt autre que son résultat. Le lecteur intéressé peut se référer à l’article fondateur de
Bernstein et al. (1958) ou au livre très pédagogique de Goedbloed & Poedts (2004). Ce
résultat très important simplifie beaucoup la construction du Lagrangien.
Equilibre statique
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
L’obtention de la forme variationnelle pour un équilibre statique est plus simple que
celle d’un équilibre dynamique. Nous présentons donc la méthode dans ce cadre, puis nous
présenterons les résultats pour un équilibre dynamique.
Lorsque le flot d’équilibre est au repos : ⃗v 0 = ⃗0, l’énergie cinétique à l’ordre 2 s’écrit
simplement :
K 2 = 1 2 ρ 0|∂ t
⃗ ξ|
2
(9.20)
La difficulté peut par contre venir de l’expression de l’énergie potentielle W 2 . Mais un moyen
simple de l’obtenir est d’écrire la conservation de l’énergie totale du système :
∂ t W 2 = −d t K 2 (9.21)
= −ρ 0 ∂ t
⃗ ξ ∗ .d 2 t 2⃗ ξ (9.22)
= −∂ t
⃗ ξ ∗ . ⃗ F ( ⃗ ξ) (9.23)
= − 1 2 ∂ tξ ⃗∗ . F ⃗ ( ξ) ⃗ − 1 2 ρ 0ξ ⃗∗ . F ⃗ (d tξ) ⃗ (9.24)
= ∂ t
(− 1 )
ξ
2 ⃗∗ . F ⃗ ( ξ) ⃗ (9.25)
W 2 = − 1 2 ⃗ ξ ∗ . ⃗ F ( ⃗ ξ) (9.26)
La troisième ligne est la simple traduction de l’équation d’Euler, la quatrième ligne utilise
directement la propriété autoadjointe de l’opérateur de force linéarisé pour les fonctions ⃗ ξ
et ∂ t
⃗ ξ, et la cinquième ligne découle de la linéarité de ⃗ F par rapport à ⃗ ξ. La dernière ligne
donne une expression pour l’énergie potentielle qui ne dépend que des quantités développées
à l’ordre 1. Elle est bien sûr définie à une constante par rapport au temps près, mais qui ne
joue aucun rôle puisque le Lagrangien d’un système est lui même défini à une constante près.
Après une rapide intégration par partie sur le temps de l’énergie cinétique, on voit finalement
que la densité de Lagrangien peut s’écrire simplement comme le produit du déplacement
Lagrangien avec l’équation d’Euler :
L 2 = − 1 ξ
2 ⃗ (
∗ . ρ 0 d 2 t 2⃗ ξ − F ⃗ 1 ( ξ) ⃗ )
(9.27)
3 Rigoureusement, l’opérateur F est ici Hermitien puisque l’on travaille implicitement dans un espace
Hermitien, c’est-à-dire un espace de fonction complexe de norme finie. Mais la nuance est subtile et nous
emploierons indépendamment l’un ou l’autre de ces deux qualificatifs.