Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

C.3 Compression et viscosité pour les ondes d’Alfvén 183
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
A l’ordre le plus bas, on retrouve bien que les modes plans sont solutions du système. Par
contre, à l’ordre suivant, on voit que les modes propres doivent être différents des modes
plans. La manière exacte donc ces modes diffèrent dépend du problème physique particulier.
On peut par exemple se fixer m, k z ainsi que la dépendance radiale et chercher la fréquence
de ces modes propres. On pourrait aussi choisir de fixer ω et de chercher la modification
apportée sur un autre paramètre. L’interprétation de la situation physique correspondante
serait différente, mais le résultat pour ce qui est de la compression serait finalement le même.
Nous développons donc la fréquence selon le même petit paramètre : ω = ω −1 + ω 0 . En
réinsérant dans l’équation C.15 et en identifiant ordre par ordre on peut donc trouver de
manière récursive les effets d’une faible courbure.
Encore une fois, à l’ordre le plus bas, on retrouve la relation de dispersion des ondes
d’Alfvén planes :
ω−1 2 = m2
(C.21)
r 2 v2 A
Et à l’ordre suivant, on trouve le décalage en fréquence :
ω 0 ω −1 = 1 r
(P r 2γ ) ′
ρ 0 r 2γ (
1 − (ρ 0(rv r ) ′ ) ′
k 2 zρ 0 v r
) −1
(C.22)
Si maintenant, on suppose de plus que le gradient radial est plus fort pour les perturbations
que pour les quantités de fond, et on note ∂ r v r ≈ ik r v r , alors :
ω 0 ω −1 = 1 r
(P 0 r 2γ ) ′ ( ) −1
ρ 0 r 2γ 1 + k2 r
kz
2 (C.23)
On trouve que le décalage en fréquence dépend des profils d’équilibre. Cette dépendance
n’est pas directement liée à la courbure et ne nous intéresse donc pas outre mesure, mais
nous verrons finalement un peu plus loin que le décalage en fréquence ne joue pas un rôle
fondamental pour estimer l’impact de la viscosité de compression.
La polarisation par exemple ne dépend pas du décalage en fréquence. En effet, on montre
facilement grâce à l’expression des vitesses verticales et azimuthales qu’à tout ordre du
développement, si v θ et v z restent finies, alors, lorsque k z → 0, on a aussi v r → 0. On a
donc toujours :
⃗ k⊥ .⃗v ⊥ = 0
(C.24)
Quelle que soit la courbure, la polarisation des ondes d’Alfvén reste la même que pour les
ondes planes.
C.3 Compression et viscosité pour les ondes d’Alfvén
Sans faire aucune hypothèse ni développement, les équations C.12 et C.13 permettent
d’exprimer la divergence du flot de manière générale :
⃗∇.⃗v = ω2
D
) (ω 2 − m2 1
r 2 v2 A
r (rv r) ′ − 2 ω2 kzv 2 A
2
D
v r
r
(C.25)
La compression du plasma est composée de deux genres de termes. Des termes en v r ′ qui
correspondent à une compression classique pour les modes sonores. En particulier, pour des
modes d’Alfvén plans, ces termes s’annulent. Et des termes en v r /r, qui eux découlent directement
des effets de courbure. En remplaçant ω = ω −1 + ω 0 par les valeurs trouvées
précédement, on trouve que :
⃗∇.v = 2 v r
(1 − S)
r (C.26)