Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

182 Propagation d’ondes d’Alfvén dans un champ magnétique courbe
Les quantités P et Q sont des fonctions du rayon, des différents nombres ou vecteur d’ondes
m et k z ainsi que de la fréquence ω d’oscillation des perturbations :
P = ρ 0
D v2 F
(ω 2 − m2
( )
Q = ρ 0 ω 2 − m2
− 4k2 zρv 4 A
r 2 D
r 2 v2 A
r 2 v2 A
) (ω 2 − m2 c 2 sv 2 )
A
r 2 vF
2
) { )} (ω 2 − m2 B
2 ′
r 2 c2 s + r 0
r 2 − 2k2 zB 0
(ω 2
r 2 vF 2 − m2
D
r 2 c2 svA
2
(C.16)
(C.17)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
L’équation C.15 est l’équation généralisée de Hain-Lüst (Hain & Lüst 1958, Goedbloed 1971).
On voit que P peut s’annuler en certains rayons. En ces points, l’équation est singulière, si
bien que la résoudre avec des conditions aux limites amène à gérer des divergences, des
résonances locales ou globales... En particulier, des perturbations de type Alfvéniques ne
peuvent être localisées qu’en un seul rayon et divergent en ce point. Ces effets ne sont pas
spécifiquement dus à la courbure des lignes de champ mais plus généralement aux gradients
de vitesses d’Alfvén et de k ‖ qui découlent en particulier de la géométrie cylindrique. Ces
phénomènes ne nous intéressent donc pas ici, mais le lecteur peut se référer à Goedbloed &
Poedts (2004) pour plus de détails. Nous nous intéressons ici aux seuls effets de la courbure.
Pour ce faire, nous utilisons l’équilibre particulier que nous avons défini précédemment. Dans
cet équilibre, ωA 2 = k2 ‖ v2 A
est indépendant du rayon. La condition de propagation des ondes
d’Alfvén planes ω 2 − ωA 2 = 0 peut donc être vérifiée en tout rayon simultanément, si bien que
le problème de localisation et de divergence du mode d’Alfvén cité précédemment disparaît.
C.2 Nouvelles propriétés de propagation
Quand ω 2 → ωA 2 , P s’annule, mais pas Q. L’équation de dispersion globale n’est donc pas
satisfaite, et les modes d’Alfvén plans ne sont pas des modes propres du système complet.
Cependant, nous ne nous intéressons ici qu’à de très légères courbures des lignes de champ
magnétique. Plus exactement, nous nous intéressons à des rayons de courbure bien plus grand
que la longueur d’onde typique des ondes que l’on considère. Dans la limite où la courbure est
nulle, on sait que l’on doit retrouver les modes plans habituels. Quand la courbure est grande,
mais finie, on doit donc avoir des modes propres aux propriétés très semblables à celles des
modes plans. Nous faisons un développement par rapport au petit paramètre ɛ = (kr) −2
où k correspond au vecteur d’onde typique. Comme la propagation des ondes d’Alfvén est
exclusivement gouvernée par la composante parallèle du vecteur d’onde k ‖ , il nous suffit pour
l’instant de supposer : k ‖ >> 1/r, c’est à dire pour cette géométrie, que
m >> 1
(C.18)
Plus exactement, nous développons donc les équations par rapport à
ɛ = 1/m 2
(C.19)
L’ordre le plus bas correspond à la propagation simple d’ondes d’Alfvén planes, mais les
termes d’ordre plus élevés introduisent les effets de la courbure. La quantité P est un terme
d’ordre principal (ordre −1) : P = P −1 ∼ m 2 . Q contient, quant à lui, des termes d’ordre
principal −1, mais aussi des termes d’ordre 0 induits par le courbure : Q = Q −1 + Q 0 , avec
( )
Q −1 = ρ 0 ω 2 − m2
r 2 v2 A
(C.20)