Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

148 Forme variationnelle cinétique
Avec quelques manipulations on peut alors écrire l’énergie potentielle 9.26 sous la forme
suivante :
W 2 = 1 γP 0
2 ρ 2 |ρ 1 ( ξ)| ⃗ 2 + 1 ∣
0
2
⃗ b 1 ( ξ) ⃗ ∣ 2 + 1 2 (⃗v 0. ∇)⃗v ⃗ ( )
0 . ⃗ξ ∗ ∇.(ρ0 ⃗ ξ) ⃗ + ξ ⃗ ∇.(ρ0 ⃗ ξ ⃗ ∗ ) (9.33)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Les deux premiers termes correspondent à l’énergie interne et l’énergie magnétique. Les autres
termes, liés à la géométrie d’équilibre, principalement la rotation différentielle, sont un peu
compliqués à traiter. Concentrons nous donc dans un premier temps sur les deux premiers.
Le disque étant mince, la densité du milieu peut s’écrire ρ 0 = Σ 0 δ(z). La densité perturbée
se définit de manière similaire : ρ 1 = σδ(z). De même, dans la géométrie utilisée, on peut écrire
la perturbation magnétique comme : ⃗ b 1 = −sign(z) ∇Φ ⃗ M où Φ M est un potentiel magnétique
(Tagger et al. 1990). Ce dernier vérifie alors : ∆Φ M = −2b D 1,z δ(z), où bD 1,z est la composante
verticale de la perturbation magnétique dans le disque. Avec ces notations, les deux premiers
termes de l’énergie potentielle s’écrivent :
1
2π
∫
W 1+2 d 3 x =
=
∫ )
(c 2 sδ(z) |σ|2
Σ + |∂ zΦ M | 2 δ(z)rdrdz (9.34)
∫ (
c 2 |σ| 2 )
s
Σ + 2Φ∗ Mb D 1,z r 2 ds (9.35)
Ces deux termes sont bien ceux qui apparaissent dans la formule A.2 de Tagger & Pellat
(1999). Ils sont simplement exprimés par rapport à d’autres variables : σ et Φ M au lieu
de ⃗ ξ ⊥ . On peut également vérifier par des calculs fastidieux que les autres termes d’énergie
potentielle et ceux d’énergie cinétique obtenus grâce à la relation 9.32 correspondent bien à
ceux de l’article Tagger & Pellat (1999).
Si les termes de surface peuvent être négligés, la forme quadratique utilisée par Tagger
& Pellat (1999) est donc bien une forme variationnelle du problème, au sens ou sa variation
par rapport aux champs σ et Φ M redonne bien les équations constitutives du système fluide.
Bien qu’étant désignée, à juste titre finalement, par le terme “forme variationnelle”, la nature
variationnelle de cette forme quadratique n’est pas utilisée dans cet article. Seules les propriétés
Hermitiennes des termes de volume sont utilisées afin d’estimer un taux de croissance
de l’instabilité. Il ne s’agit donc pas d’une approche variationnelle.
9.3.2 Disque avec couronne
Pour deuxième application, considérons le cas étudié par Varnière & Tagger (2002). Il
s’agit du même disque infiniment fin, en rotation différentielle et traversé par un champ
magnétique vertical et homogène, mais cette fois entouré d’un couronne peu dense. Dans cet
article, une forme quadratique est présentée (eq. 17).
Avec quelques calculs, on montre que la variation de cette forme ne redonne pas les
équations de départ. En effet, même en négligeant les termes de surface, l’opérateur utilisé
n’est pas auto-adjoint. La forme quadratique présentée dans Varnière & Tagger (2002) n’est
donc pas une forme variationnelle du problème physique. Cependant, de même que dans le cas
précédent, les propriétés variationnelles qu’aurait pu avoir cette forme ne sont pas utilisées,
bien que les auteurs présentent leur forme quadratique comme étant variationnelle.
Maintenant que nous avons compris comment construire un Lagrangien du système, il est
cependant facile d’écrire la forme variationnelle correspondant au modèle de Varnière & Tagger
(2002). Dans cet article, les champs utilisés ne sont pas les composantes du déplacement
Lagrangien, mais les fonctions Φ et Ψ définies par :
⃗ξ = − 1 (
⃗∇⊥ Φ + ⃗e z ×
B ⃗ )
∇ ⊥ Ψ
(9.36)
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