Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

Annexe A
la viscosité de compression
Cette annexe décrit en détail les propriétés de viscosité des plasmas qui sont rappelées en
section 3.2.
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
A.1 Viscosité et diffusion
La viscosité est un phénomène de diffusion qui n’apparaît donc que lorsque des gradients
spatiaux rendent la distribution de vitesse non Maxwellienne. La diffusion tend de manière
très générale à homogénéiser la répartition des grandeurs physiques auxquelles elle s’applique.
Elle gomme les gradients en transportant ces grandeurs physiques des zones où elles sont
grandes vers les zones où elles sont faibles. Il est bien connu par exemple qu’un gradient de
densité engendre un flux de matière vers les régions sous-denses de manière à homogénéiser
la densité ou qu’un gradient de température génère un flux d’énergie vers les zones froides
de manière à homogénéiser la température. Dans la limite de faibles variations spatiales, ces
flux sont simplement proportionnels aux gradients qui les engendrent :
⃗i = −D ⃗ ∇n (A.1)
⃗q = −κ ⃗ ∇T (A.2)
Il en est de même pour la viscosité. Dans ce cas, la quantité transportée est la quantité de
mouvement : la viscosité transporte l’impulsion de zones où elle est forte vers des zones où
elle est faible. Le moment n’étant pas une grandeur scalaire mais une grandeur vectorielle son
flux est un tenseur : Π i,j , appelé tenseur des contraintes. De même que pour la température
ou la densité on peut écrire des relations de simple proportionnalité entre les flux de moment
et leur gradient. Cependant, la nature vectorielle de la quantité de mouvement complique
les choses et les différentes composantes du tenseur des contraintes s’expriment comme des
combinaisons linéaires de termes du genre : ∂ i V j . Le tenseur des contraintes est symétrique et
de trace nulle, si bien qu’il possède a priori 5 coefficients de proportionnalité η indépendants.
La force visqueuse est simplement la divergence du tenseur des contraintes et s’écrit comme
une somme de termes du genre :
−∂ i (η i,j ∂ i v j )
(A.3)
La valeur de ces coefficients dépend des conditions exactes du milieu : présence ou non d’un
champ magnétique, nature des interactions, conditions thermodynamiques... La dérivation
quantitative du tenseur des contraintes et de la force visqueuse est complexe. Un méthode
pour dériver tous les coefficients de transport consiste à développer l’équation de Vlasov
autour d’une Maxwellienne dans la limite des faibles gradients Braginskii (1965). Ce sont les
résultats de ce calcul que nous utilisons dans la suite de cette annexe.
Un résultat important est que la présence d’un champ magnétique modifie considérablement
les propriétés de la viscosité. Il peut donc être intéressant de considérer les cas sans et avec
champ magnétique séparément.